Exercícios Resolvidos de Critério de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 100 s ( s + 3 ) ( s + 6 )

Passo 1

Primeriamente precisamos fazer o esboço do diagrama de Nyquist para a função de transferência. Para isso, substituímos s por i ω e varíamos ω de 0 ate´ .

Substituindo s por i ω :

G i ω = 100 i ω ( i ω + 3 ) ( i ω + 6 )

Se efetuarmos as multiplicações teremos:

G i ω = 70 - i ω 3 - 9 ω 2 + 18 i ω

Passo 2

Devemos agora esboçar o diagrama de Nyquist variando o valor de ω de 0 até . Sendo assim, o diagrama de Nyquist ficará conforme mostra a figura abaixo:

Em ω = 0 o diagrama tenderá a ∞   , e quando ω assume valores muito altos o diagarama de Nyquist vai para 0 .

Além disso, podemos perceber em frequências altas, o ângulo de fase é - 270 º , já que existem três polos a mais que zeros, por isso, o diagrama precisa cruzar o eixo dos reais antes de “morrer” na origem com o ângulo adequado, formando um loop. Como esse loop é muito pequeno, precisamos dar um zoom no diagrama para conseguir enxergar bem:

Para calcular onde o diagrama cruza o eixo dos reais, precisamos encontrar as frequências que fazem com que a função de transferência seja um número real puro, ou seja:

- i ω 3 + 18 i ω = 0

Os valores de ω que satisfazem a expressão são ω = 0 que é de onde sai o diagrama (no infinito) e ω = 4,24 . Quando ω assume esse valor, teremos:

G 4,24 i = - 0,6

Passo 3

Para determinar se o sistema é estável ou não, devemos determinar o número de raízes da equação característica em malha fechada no semiplano direito através da fórmula abaixo:

Z = N + P

Onde, Z é o número de raízes positivas da equação características, N é o número de voltas que o diagrama dá em - 1 , e P é o número de polos positivos em malha aberta. Para que o sistema seja estável não pode haver rízes positivas da equação característica, ou seja, Z = 0 .

Para este exemplo, N = 0 porque o diagrama não dá nenhuma volta em - 1 . Além disso, P = 0 , uma vez que não temos nenhum polo positivo em malha aberta.

Sendo asism:

Z = 0 + 0 = 0

O sistema é estável.

Resposta

Sistema estável