Exercícios Resolvidos de Critério de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 40 ( s - 2 ) ( s + 10 )

Passo 1

Primeriamente precisamos fazer o esboço do diagrama de Nyquist para a função de transferência. Para isso, substituímos s por i ω e varíamos ω de 0 ate´ .

Substituindo s por i ω :

G i ω = 40 ( i ω - 2 ) ( i ω + 10 )

G i ω = 40 - ω 2 + 8 i ω - 20

Passo 2

Devemos agora esboçar o diagrama de Nyquist variando o valor de ω de 0 até . Usando um software, o diagrama de Nyquist é dado na figura abaixo:

Em ω = 0 o diagrama tende a - 40 20 = - 2 , e quando ω assume valores muito altos o diagarama de Nyquist vai para 0 .

Além disso, podemos perceber em frequências altas, o ângulo de fase é - 180 º , já que existem dois polos a mais que zeros.

Passo 3

Para determinar se o sistema é estável ou não, devemos determinar o número de raízes da equação característica em malha fechada no semiplano direito através da fórmula abaixo:

Z = N + P

Onde, Z é o número de raízes positivas da equação características, N é o número de voltas que o diagrama dá em - 1 , e P é o número de polos positivos em malha aberta. Para que o sistema seja estável não pode haver rízes positivas da equação característica, ou seja, Z = 0 .

Para este exemplo, N = - 1 porque o diagrama dá uma volta em - 1 no sentido antihorário, e existe um polo positivo em malha aberta, 2 , logo, P = 1 .

Sendo asism:

Z = - 1 + 1 = 0

O sistema é estável.

Resposta

Sistema estável