Exercícios Resolvidos de Critério de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 70 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 1

Primeriamente precisamos fazer o esboço do diagrama de Nyquist para a função de transferência. Para isso, substituímos s por i ω e varíamos ω de 0 ate´ .

Substituindo s por i ω :

G i ω = 70 ( i ω + 1 ) ( i ω + 2 ) ( i ω + 3 )

Se efetuarmos as multiplicações teremos:

G i ω = 70 - i ω 3 - 6 ω 2 + 11 i ω + 6

Passo 2

Devemos agora esboçar o diagrama de Nyquist variando o valor de ω de 0 até . Usando um software, conseguimos o seguinte diagrama de Nyquist para a função de transferência:

Em ω = 0 o diagrama tende a 70 6 = 11,67 , e quando ω assume valores muito altos o diagarama de Nyquist vai para 0 .

Além disso, podemos perceber em frequências altas, o ângulo de fase é - 270 º , já que existem três polos a mais que zeros, por isso, o diagrama precisa cruzar o eixo dos reais antes de “morrer” na origem.

Para calcular onde o diagrama cruza o eixo dos reais, precisamos encontrar as frequências que fazem com que a função de transferência seja um número real puro, ou seja:

- i ω 3 + 11 i ω = 0

Os valores de ω que satisfazem a expressão são ω = 0 que é de onde sai o diagrama e ω = 3,32 . Quando ω assume esse valor, teremos:

G 3,23 i = - 1,19

Passo 3

Para determinar se o sistema é estável ou não, devemos determinar o número de raízes da equação característica em malha fechada no semiplano direito através da fórmula abaixo:

Z = N + P

Onde, Z é o número de raízes positivas da equação características, N é o número de voltas que o diagrama dá em - 1 , e P é o número de polos positivos em malha aberta. Para que o sistema seja estável não pode haver rízes positivas da equação característica, ou seja, Z = 0 .

Para este exemplo, N = 2 porque o diagrama dá duas voltas em - 1 , ambas no sentido horário. Além disso, P = 0 , uma vez que não temos nenhum polo positivo em malha aberta.

Sendo asism:

Z = 2 + 0 = 2

O sistema é instável.

Resposta

Sistema instável