Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 827 - 41

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = y - ln ⁡ x

Passo 1

Essa é tranquila! Pra achar as equações das curvas de nível, basta igualar a função a uma constante qualquer k :

y - ln ⁡ x = k

⇒ y = ln ⁡ x + k

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o k .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:

Na figura temos, de verde, o gráfico da função y = cos ⁡ x e em cima, de laranja, o gráfico da função y = cos ⁡ x + 2 .

E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa, mas com a função y = ln ⁡ x , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo dependendo do valor de k !

Passo 3

O gráfico da função y = ln ⁡ x   é assim, lembra?

Agora vamos fazer um estudo para vários intervalos de k :

k > 0

k = 0

k < 0

Quando temos k = 0 , a função não irá se deslocar nem para cima, nem para baixo, ficando igual ao gráfico acima.

Passo 4

Agora vamos analisar a função para, k > 0

Neste caso a função será deslocada para cima, dependendo do valor de k .

Passo 5

Agora vamos analisar a função para, k < 0

Neste caso a função será deslocada para baixo, dependendo do valor de k .

Passo 6

Para exemplificar, eu fiz k valer - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 e 2 , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível:

Resposta

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