Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 161 – 2c

Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

f x , y = x - y x + y

Passo 1

Antes de determinar as curvas de nível, é importante saber qual o domínio da função!

Repara que temos uma fração, então o denominador não pode zerar, ou seja,

x + y ≠ 0

Deste modo, temos que a função não é definida no ponto ( 0,0 ) , pois zeraríamos o denominador.

Vamos por partes! Pra achar as equações dessas curvas de nível temos que igualar a função a uma constante qualquer k :

x - y x + y = k

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tentar isolar o y , deixando ele em função de x :

x - y = k x + y

⇒ k y + y = x - k x

y k + 1 = x 1 - k

y = 1 - k 1 + k x

Beleza, aí está nossa equação explícita! Agora vamos analisar possíveis valores de k .

Passo 3

Começando pelo caso mais simples: k = 0 . Isso dá simplesmente

y = 1 - 0 1 + 0 x ⇔ y = x ,

que é uma reta bem fácil de esboçar:

Repare que nossa função f ( x , y ) não está definida no ponto ( 0,0 ) , por isso tem essa bolinha aberta ai na origem, já que se a função não tá definida num ponto, a curva de nível não pode passar por esse ponto, beleza?

Passo 4

Outro caso bem tranquilo é a curva de nível k = 1 :

→ y = 1 - 1 1 + 1 x = 0 ,

que nada mais é que o eixo x :

Passo 5

Vamos fazer mais umas 2 curvas de nível que tá de bom tamanho. Vamos pegar um k > 1

Podemos usar agora k = 2 :

y = 1 - 2 1 + 2 x = - 1 3 x

Também sem grande mistério pra desenhar:

Passo 6

E agora, pra finalizar, que tal uma curva de nível com k   negativo?

Usemos então k = - 1 . Como não podemos zerar o denominador, vamos olhar a função de outra forma,

y = 1 - k 1 + k x →   ( 1 + k ) y = ( 1 - k ) x

Fazendo k = - 1 :

1 - 1 y = 1 + 1 x

x = 0

Tranquilho?!

O desenho é:

Passo 7

Juntando todas as curvas de nível que desenhamos:

Passo 8

Maas ainda não acabou a questão! Ele pediu também a imagem da função, lembra?

Relembrando, a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. E o fato da gente já ter olhado as curvas de nível da função vai ajudar bastante!

A função pode valer para vários valores de k :

f x , y = k

E o conjunto desses k que vai ser a imagem da função.

Então temos que descobrir quais valores de k são permitidos e quais não são. E na verdade já fizemos isso! Porque esse f x , y = k é a mesma coisa que a gente fez pra achar as curvas de nível, e acabou resultando na equação

y = 1 - k 1 + k x

Aí vimos que k pode valer qualquer coisa, inclusive - 1 .

Ou seja, a função pode assumir qualquer valor real, então sua imagem é o conjunto dos reais.

R

Resposta

Curvas de nível:

Imagem:

R

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