1.

Em cada parte, as questões se referem ao mapa de contorno na figura abaixo.

a) O ponto A ou B é o ponto mais alto? Explique seu raciocínio.

b) O ponto A ou B está na inclinação mais íngreme? Explique seu raciocínio.

c) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a elevação começará a crescer ou decrescer?

d) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a elevação começará a crescer ou decrescer?

e) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y decresce, a elevação começará a crescer ou decrescer?

f) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y decresce, a elevação começará a crescer ou decrescer?

Resolução
2.

Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

f x , y = x - y x + y

Resolução
3.

Considere a função

z = f x , y = ln ⁡ e x + y - 1

  1. Escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto 8,2 e da curva de nível que contém o ponto - 2,3
  2. Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto a , b , com b > - a .
  3. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 2 é constante, isto é, que y = - x + 2 está contida em um conjunto de nível de f .
  4. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 3 é constante, isto é, que y = - x + 3 está contida em um conjunto de nível de f .
  5. Se, por um momento, f representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: y = - x + 2 ou y = - x + 3 ? Justifique sua resposta.
Resolução
4.

Seja

f x , y = 2 x 2 + y 2 4 x - y 2

a) Esboce a curva de nível de f que corresponde ao nível z = 3 . Em que pontos essa curva intercepta o eixo x ?

Resolução
5.

A temperatura em um ponto ( x , y ) de uma placa de metal plana é T x , y = 9 x 2 + 4 y 2 graus.

  1. Encontre a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ) .
  2. Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus.
  3. Esboce a curva do item (b).
Resolução
6.

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = y - ln ⁡ x

Resolução
7.

Dada a função f x ,   y = 5 - 25 x 2 + 5 y 2 .

Determine algebricamente e identifique as curvas de nível de f ( x ,   y ) .

Resolução
8.

Dada a função f x ,   y = 5 - 4 x 2 + y 2 .

Determine e identifique as curvas de nível de f ( x ,   y ) .

Resolução
9.

Seja f x , y = y - 2 x 2 - 1 .

a) Esboce uma família de curvas de nível de f .

b) Encontre a interseção do gráfico de f com o plano x = 0 e descreva a interseção do gráfico de f com cada plano y = k , em que k ∈ R .

c) Descreva e esboce o gráfico de f .

d) Encontre uma parametrização para a interseção do gráfico de f com o plano z = x , explicitando o domínio.

Resolução
10.

Seja f x , y = 2 x 2 + y 2 4 x - y 2

a) Encontre e esboce o domínio de f .

b) Esboce a curva de nível de f que corresponde ao nível z = 3 . Em que pontos essa curva intercepta o eixo x ?

c) Encontre uma parametrização γ para a curva do item b ) .

d) Sabendo que a imagem da curva Γ t = t 2 , t , z t , t > 0 , está contida no gráfico de f , encontre a função z t e dê a equação da reta tangente a Γ em Γ 1 .

Resolução
11.

Considere F x , y = 10 x 2 - 2 y x 2 + y 2 . Determine o domínio de F e esboce as curvas de níveis c = 0 , c = 1 e c = 10

Resolução
12.

Seja g x , y = x y - y 3 . Determine a equação da reta tangente à curva de nível g x , y = 1 no ponto P = 2,1 .

Resolução
13.

Seja f x , y = x 2 - y 2 + 4 . Determine equações para as curvas de nível k de f para k = 0 ,   k = 3 ,   k = 2 e k = 8 . Faça o esboço dessas curvas.

Resolução
14.

Considere a função

z = f x , y = ln ⁡ e x + y - 1

  1. Escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto 8,2 e da curva de nível que contém o ponto - 2,3
  2. Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto a , b , com b > - a .
  3. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 2 é constante, isto é, que y = - x + 2 está contida em um conjunto de nível de f .
  4. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 3 é constante, isto é, que y = - x + 3 está contida em um conjunto de nível de f .
  5. Se, por um momento, f representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: y = - x + 2 ou y = - x + 3 ? Justifique sua resposta.
Resolução
23.

Suponha que T x , y = 4 x 2 + 9 y 2 representa o valor da temperatura em ° C sobre os pontos do plano x y .

  1. Desenhe a isoterma correspondente a 36   °
Resolução
24.

Seja f a função, definida em

x , y ∈ R 2 : x 2 + x + 2 y ≠ 0

Dada por

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 x 2 + x + 2 y

Determine equações para as curvas de nível c de f quando c = 0,1   e   2 . Faça um esboço delas (em linha cheia) e da restrição no domínio (em pontilhado).

Resolução
25.

Resolva o que se pede:

b) Esboçe as curvas de nível da função f x , y = y e x

Resolução
26.

Seja T : X ⊂ R 2 → R uma função cujo valor do ponto x , y ∈ X representa a temperatura em ° C neste ponto. Se T é dada por:

T x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 2

  1. Determine e esboce graficamente o domínio da função T
  2. Esboce a isoterma de temperatura T = 1 49 ° C
  3. Encontre o(s) ponto(s) onde a temperatura seja máxima ao longo da reta y = - x
Resolução
27.

Considere a curva

γ t = sin ⁡ t , sec 2 ⁡ t - 1 ,   t ∈ ] - π / 2   ,   π / 2 [  

A imagem de γ está contida na curva de nível:

  1. c = 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  2. c = - 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  3. c = 0 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  4. c = 2 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
Resolução
28.

Resolva o que se pede:

Faça o mapa de contorno da função abaixo, mostrando várias curvas de nível:

f x , y = ln ⁡ x 2 + 4 y 2

Resolução
29.

Seja f x , y = x y   e   g x , y = x 2 + y ²

a) Determine e esboce a curva de nível de f que passe pelo ponto (1,1).

b) Determine e esboce a curva de nível de g que passe pelo ponto (1,1).

c) A afirmação “As curvas de nível de f e g dos itens anteriores são ortogonais no ponto (1,1)” é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.

Resolução
30.

Considere a função

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 ,           p a r a   t o d o     x ,   y ≠ 0 ,   0

Então

a) a curva de nível 2 de f está contida em uma hipérbole.

b) a curva de nível 2 de f é uma elipse.

c) a curva de nível 1 de f é uma parábola.

d) a curva de nível 1 de f está contida em uma elipse.

e) a curva de nível 1 de f é um conjunto vazio.

Resolução
31.

Considere a função

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 ,           p a r a   t o d o     x ,   y ≠ 0 ,   0

Então

a) a curva de nível - 1 de f está contida em uma elipse.

b) a curva de nível - 1 de f é uma hipérbole.

c) a curva de nível 1 de f está contida em uma elipse.

d) a curva de nível 1 de f é uma parábola.

e) a curva de nível 1 de f é um conjunto vazio.

Resolução
32.

Considere a função

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 ,           p a r a   t o d o     x ,   y ≠ 0 ,   0

Então

a) a curva de nível 1 de f está contida em uma parábola.

b) a curva de nível 1 de f é uma elipse.

c) a curva de nível 2 de f é uma hipérbole.

d) a curva de nível 2 de f está contida em uma elipse.

e) a curva de nível 2 de f é um conjunto vazio.

Resolução

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