Curvas de Nível

Teoria Completa

O que é isso:

Curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico z = f ( x ,   y ) com um plano z = k (onde k é uma constante). Na prática, é só igualar a função a uma constante:

f x , y = k

E depois ver qual curva é essa! Ou seja, é uma curva que é a interseção entre um plano paralelo ao x y e o gráfico de z = f ( x ,   y ) . Fica ligado numa coisa: essa curva sempre está no plano x y ! Chamamos a representação das curvas de nível de uma função de mapa de contorno.

Exemplo:

f x ,   y = x 2 + y 2

Observação: perceba que essa superfície é a parte superior de um cone circular!

Curvas de nível:

f x ,   y = k ⇒ x 2 + y 2 = k ⇒ x 2 + y 2 = k 2

Então, a uma certa altura z = k , a interseção entre o cone e o plano z = k é um círculo de raio k . Fica mais fácil entender isso quando visualizamos graficamente. Dá uma olhada:

Se a gente pegar essa curva em vermelho e projetar lá no plano x y nós teremos uma curva de nível! Agora para obter todas as curvas de nível a gente precisaria ir variando o valor de k .

Observação: note que, no nosso exemplo, k deve ser maior ou igual a zero pois f ( x , y ) é sempre maior ou igual a zero (pois é a parte superior de um cone)! Se k = 0 , a curva de nível se reduz ao ponto ( 0,0 ) .

Algumas observações:

Observação 1: Você pode também se deparar com questões desse tipo:

“Ache o nível da curva de nível da função f x , y = x 2 - y + 3 que passa pelo ponto cujas coordenadas x , y são 1 ,   2 ”. Nesse caso basta substituir os valores na função!

f 1 ,   2 = 1 - 2 + 3 = 2

Ou seja, essa é a curva de nível 2 da função.

Observação 2: A respeito do espaçamento das curvas de nível, é importante reparar que quanto mais elas são próximas, mais rápido a função está variando. Da mesma forma, quanto mais espaçadas, mais lenta é essa variação.

Por exemplo, dá uma olhada nessa figura mostrando uma repartição da pressão atmosférica nos Estados Unidos:

Podemos ver que no noroeste as curvas de nível estão muito próximas. Portanto, a variação da pressão é muito alta!

Observação 3: Uma última coisa antes de partirmos pros exercícios: quando você for estudar as curvas de nível de uma função, é bom saber qual é o domínio dela. Se uma função não está definida num ponto, nenhuma curva de nível pode passar por ele.

Por exemplo, saca essa função aqui

f x , y = y x

Dá pra achar o domínio dela tranquilamente. A única restrição é x ≠ 0 . Logo, as curvas de nível y = k x , não estão definidas para x = 0 . Por exemplo, aqui está a curva de nível 2 da função:

Captou a mensagem? Então vamos ver uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 827 - 41

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = y - ln ⁡ x

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Passo 1

Essa é tranquila! Pra achar as equações das curvas de nível, basta igualar a função a uma constante qualquer k :

y - ln ⁡ x = k

⇒ y = ln ⁡ x + k

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o k .

Passo 2

Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:

Na figura temos, de verde, o gráfico da função y = cos ⁡ x e em cima, de laranja, o gráfico da função y = cos ⁡ x + 2 .

E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa, mas com a função y = ln ⁡ x , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo dependendo do valor de k !

Passo 3

O gráfico da função y = ln ⁡ x   é assim, lembra?

Agora vamos fazer um estudo para vários intervalos de k :

k > 0

k = 0

k < 0

Quando temos k = 0 , a função não irá se deslocar nem para cima, nem para baixo, ficando igual ao gráfico acima.

Passo 4

Agora vamos analisar a função para, k > 0

Neste caso a função será deslocada para cima, dependendo do valor de k .

Passo 5

Agora vamos analisar a função para, k < 0

Neste caso a função será deslocada para baixo, dependendo do valor de k .

Passo 6

Para exemplificar, eu fiz k valer - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 e 2 , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p. 71 – exemplo 3.3

A temperatura em um ponto ( x , y ) de uma placa de metal plana é T x , y = 9 x 2 + 4 y 2 graus.

  1. Encontre a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ) .
  2. Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus.
  3. Esboce a curva do item (b).
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Passo 1

Resolvendo o item (a):

Basta substituir x = 1 e y = 2 para descobrir T ( 1,2 ) :

T x , y = 9 x 2 + 4 y 2

T 1,2 = 9 1 2 + 4 2 2

T 1,2 = 9 + 16

⇒ T 1,2 = 25

Passo 2

Resolvendo o item (b):

Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a 36 . Logo:

T x , y = 36

⇒ 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Dividindo os dois lados por 36 :

9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 36 36

⇒ x 2 4 + y 2 9 = 1

Portanto, os pontos ( x , y ) que satisfazem essa equação satisfazem T x , y = 36 .

Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função T ( x , y ) !

Passo 3

Perceba que equação da curva que acabamos de encontrar é uma elipse.

Portanto, seu gráfico é o seguinte:

Resposta

  1. T 1,2 = 25

  2. x 2 4 + y 2 9 = 1

Exercício Resolvido #3

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 161 – 2c

Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

f x , y = x - y x + y

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Passo 1

Antes de determinar as curvas de nível, é importante saber qual o domínio da função!

Repara que temos uma fração, então o denominador não pode zerar, ou seja,

x + y ≠ 0

Deste modo, temos que a função não é definida no ponto ( 0,0 ) , pois zeraríamos o denominador.

Vamos por partes! Pra achar as equações dessas curvas de nível temos que igualar a função a uma constante qualquer k :

x - y x + y = k

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tentar isolar o y , deixando ele em função de x :

x - y = k x + y

⇒ k y + y = x - k x

y k + 1 = x 1 - k

y = 1 - k 1 + k x

Beleza, aí está nossa equação explícita! Agora vamos analisar possíveis valores de k .

Passo 3

Começando pelo caso mais simples: k = 0 . Isso dá simplesmente

y = 1 - 0 1 + 0 x ⇔ y = x ,

que é uma reta bem fácil de esboçar:

Repare que nossa função f ( x , y ) não está definida no ponto ( 0,0 ) , por isso tem essa bolinha aberta ai na origem, já que se a função não tá definida num ponto, a curva de nível não pode passar por esse ponto, beleza?

Passo 4

Outro caso bem tranquilo é a curva de nível k = 1 :

→ y = 1 - 1 1 + 1 x = 0 ,

que nada mais é que o eixo x :

Passo 5

Vamos fazer mais umas 2 curvas de nível que tá de bom tamanho. Vamos pegar um k > 1

Podemos usar agora k = 2 :

y = 1 - 2 1 + 2 x = - 1 3 x

Também sem grande mistério pra desenhar:

Passo 6

E agora, pra finalizar, que tal uma curva de nível com k   negativo?

Usemos então k = - 1 . Como não podemos zerar o denominador, vamos olhar a função de outra forma,

y = 1 - k 1 + k x →   ( 1 + k ) y = ( 1 - k ) x

Fazendo k = - 1 :

1 - 1 y = 1 + 1 x

x = 0

Tranquilho?!

O desenho é:

Passo 7

Juntando todas as curvas de nível que desenhamos:

Passo 8

Maas ainda não acabou a questão! Ele pediu também a imagem da função, lembra?

Relembrando, a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. E o fato da gente já ter olhado as curvas de nível da função vai ajudar bastante!

A função pode valer para vários valores de k :

f x , y = k

E o conjunto desses k que vai ser a imagem da função.

Então temos que descobrir quais valores de k são permitidos e quais não são. E na verdade já fizemos isso! Porque esse f x , y = k é a mesma coisa que a gente fez pra achar as curvas de nível, e acabou resultando na equação

y = 1 - k 1 + k x

Aí vimos que k pode valer qualquer coisa, inclusive - 1 .

Ou seja, a função pode assumir qualquer valor real, então sua imagem é o conjunto dos reais.

R

Resposta

Curvas de nível:

Imagem:

R

Exercício Resolvido #4

USP, P1 2011, exercício 1 (modificado)

Seja

f x , y = 2 x 2 + y 2 4 x - y 2

a) Esboce a curva de nível de f que corresponde ao nível z = 3 . Em que pontos essa curva intercepta o eixo x ?

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Passo 1

a)

Ok, ele quer a curva de nível que tem z = 3 . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função f x , y e igualá-la a 3 :

2 x 2 + y 2 4 x - y 2 = 3

E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?

2 x 2 + y 2 = 3 4 x - y 2

2 x 2 + y 2 = 12 x - 3 y 2

2 x 2 - 12 x + 4 y 2 = 0

Dividindo tudo por 2 ,

x 2 - 6 x + 2 y 2 = 0

Passo 2

Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o x ? Só pensar que o coeficiente - 6 do x é duas vezes o coeficiente do x 2 vezes o segundo termo do produto notável. Assim,

x 2 - 6 x + 9 - 9 + 2 y 2 = 0

x - 3 2 + 2 y 2 = 9

x - 3 2 9 + 2 9 y 2 = 1

E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em 3,0 !

Passo 3

Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo x ? Para saber disso, temos que fazer y = 0 , e então teremos o ponto pedido :)

x - 3 2 9 + 2 9 0 2 = 1

x - 3 2 = 9

Tirando a raiz quadrada dos dois lados,

x - 3 = ± 3

x = 0   o u   x = 6

Passo 4

Mas tome muito cuidado agora! Encontramos os pontos 0,0 e 6,0 , certo? Não! Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores x , y = 0 ,   0 na função temos uma divisão por zero.

Assim, temos apenas o ponto 6,0 , pois a curva não toca a origem:

Passo 5

Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Então, como nosso x 0 = 3 e y 0 = 0 , seu centro está em 3,0 . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, + a e – a na direção x e + b e – b na direção y !

Resposta

a) Corta o eixo x no ponto 6,0 , apenas.

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Considere a função

z = f x , y = ln ⁡ e x + y - 1

  1. Escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto 8,2 e da curva de nível que contém o ponto - 2,3
  2. Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto a , b , com b > - a .
  3. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 2 é constante, isto é, que y = - x + 2 está contida em um conjunto de nível de f .
  4. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 3 é constante, isto é, que y = - x + 3 está contida em um conjunto de nível de f .
  5. Se, por um momento, f representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: y = - x + 2 ou y = - x + 3 ? Justifique sua resposta.
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Passo 1

a )

Para achar a curva de nível precisamos do valor de z , como ele deu um ponto que a curva de nível está vamos trocar esse ponto na função e achar nosso z , começando pelo ponto 8,2

z = f 8,2 = ln ⁡ e 8 + 2 - 1

z = ln ⁡ e 10 - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e 10 - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e 10 - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e 10 - 1

e x + y = e 10

x + y = 10

E temos nossa curva de nível.

Passo 2

Vamos fazer a mesma coisa para o outro ponto - 2,3 ,

z = f - 2,3 = ln ⁡ e - 2 + 3 - 1

z = ln ⁡ e - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e - 1

e x + y = e

x + y = 1

E temos nossa outra curva de nível.

Passo 3

b )

Vamos fazer a mesma coisa de novo, só que dessa vez no ponto a , b

z = f a , b = ln ⁡ e a + b - 1

z = ln ⁡ e a + b - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e a + b - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e a + b - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e a + b - 1

e x + y = e a + b

x + y = a + b

E temos nossa curva de nível. Você deve estar se perguntando onde entra aquela restrição, isso serve para vermos que o cara dentro do ln ⁡   no valor de z é positivo, e assim podemos ter o logaritmo sem problemas. Ele é positivo porque

b > - a

b + a > 0

e b + a > e 0

e b + a > 1

e b + a - 1 > 0

Sacou?

Passo 4

c )

Basta trocar esse valor de y na função e ver se z vai ser constante.

y = - x + 2

z = f x , - x + 2 = ln ⁡ e x - x + 2 - 1

z = ln ⁡ e 2 - 1

Que, por mais feio que seja, é uma constante.

Então essa reta é uma curva de nível.

Passo 5

d )

Basta trocar esse valor de y na função e ver se z vai ser constante.

y = - x + 3

z = f x , - x + 3 = ln ⁡ e x - x + 3 - 1

z = ln ⁡ e 3 - 1

Que, por mais feio que seja, é uma constante.

Então essa reta é uma curva de nível.

Passo 6

e )