Teoria Completa
O que é isso:
Curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico com um plano (onde é uma constante). Na prática, é só igualar a função a uma constante:
E depois ver qual curva é essa! Ou seja, é uma curva que é a interseção entre um plano paralelo ao e o gráfico de . Fica ligado numa coisa: essa curva sempre está no plano ! Chamamos a representação das curvas de nível de uma função de mapa de contorno.
Exemplo:
Observação: perceba que essa superfície é a parte superior de um cone circular!
Curvas de nível:
Então, a uma certa altura , a interseção entre o cone e o plano é um círculo de raio . Fica mais fácil entender isso quando visualizamos graficamente. Dá uma olhada:
Se a gente pegar essa curva em vermelho e projetar lá no plano nós teremos uma curva de nível! Agora para obter todas as curvas de nível a gente precisaria ir variando o valor de .
Observação: note que, no nosso exemplo, deve ser maior ou igual a zero pois é sempre maior ou igual a zero (pois é a parte superior de um cone)! Se , a curva de nível se reduz ao ponto .
Algumas observações:
Observação 1: Você pode também se deparar com questões desse tipo:
“Ache o nível da curva de nível da função que passa pelo ponto cujas coordenadas são ”. Nesse caso basta substituir os valores na função!
Ou seja, essa é a curva de nível 2 da função.
Observação 2: A respeito do espaçamento das curvas de nível, é importante reparar que quanto mais elas são próximas, mais rápido a função está variando. Da mesma forma, quanto mais espaçadas, mais lenta é essa variação.
Por exemplo, dá uma olhada nessa figura mostrando uma repartição da pressão atmosférica nos Estados Unidos:
Podemos ver que no noroeste as curvas de nível estão muito próximas. Portanto, a variação da pressão é muito alta!
Observação 3: Uma última coisa antes de partirmos pros exercícios: quando você for estudar as curvas de nível de uma função, é bom saber qual é o domínio dela. Se uma função não está definida num ponto, nenhuma curva de nível pode passar por ele.
Por exemplo, saca essa função aqui
Dá pra achar o domínio dela tranquilamente. A única restrição é . Logo, as curvas de nível , não estão definidas para . Por exemplo, aqui está a curva de nível 2 da função:
Captou a mensagem? Então vamos ver uns exercícios!
Exercício Resolvido #1
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Essa é tranquila! Pra achar as equações das curvas de nível, basta igualar a função a uma constante qualquer :
Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o .
Passo 2
Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:
Na figura temos, de verde, o gráfico da função e em cima, de laranja, o gráfico da função .
E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa, mas com a função , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo dependendo do valor de !
Passo 3
O gráfico da função é assim, lembra?
Agora vamos fazer um estudo para vários intervalos de :
Quando temos , a função não irá se deslocar nem para cima, nem para baixo, ficando igual ao gráfico acima.
Passo 4
Agora vamos analisar a função para,
Neste caso a função será deslocada para cima, dependendo do valor de .
Passo 5
Agora vamos analisar a função para,
Neste caso a função será deslocada para baixo, dependendo do valor de .
Passo 6
Para exemplificar, eu fiz valer e , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível:
Resposta
Exercício Resolvido #2
A temperatura em um ponto de uma placa de metal plana é graus.
- Encontre a temperatura no ponto .
- Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a graus.
- Esboce a curva do item (b).
Passo 1
Resolvendo o item (a):
Basta substituir e para descobrir :
Passo 2
Resolvendo o item (b):
Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a . Logo:
Dividindo os dois lados por :
Portanto, os pontos que satisfazem essa equação satisfazem .
Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função !
Passo 3
Perceba que equação da curva que acabamos de encontrar é uma elipse.
Portanto, seu gráfico é o seguinte:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Passo 1
Antes de determinar as curvas de nível, é importante saber qual o domínio da função!
Repara que temos uma fração, então o denominador não pode zerar, ou seja,
Deste modo, temos que a função não é definida no ponto , pois zeraríamos o denominador.
Vamos por partes! Pra achar as equações dessas curvas de nível temos que igualar a função a uma constante qualquer :
Vamos lá!
Passo 2
Vamos tentar isolar o , deixando ele em função de :
Beleza, aí está nossa equação explícita! Agora vamos analisar possíveis valores de
Passo 3
Começando pelo caso mais simples: . Isso dá simplesmente
que é uma reta bem fácil de esboçar:
Repare que nossa função não está definida no ponto , por isso tem essa bolinha aberta ai na origem, já que se a função não tá definida num ponto, a curva de nível não pode passar por esse ponto, beleza?
Passo 4
Outro caso bem tranquilo é a curva de nível :
que nada mais é que o eixo :
Passo 5
Vamos fazer mais umas curvas de nível que tá de bom tamanho. Vamos pegar um
Podemos usar agora :
Também sem grande mistério pra desenhar:
Passo 6
E agora, pra finalizar, que tal uma curva de nível com negativo?
Usemos então . Como não podemos zerar o denominador, vamos olhar a função de outra forma,
Fazendo :
Tranquilho?!
O desenho é:
Passo 7
Juntando todas as curvas de nível que desenhamos:
Passo 8
Maas ainda não acabou a questão! Ele pediu também a imagem da função, lembra?
Relembrando, a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. E o fato da gente já ter olhado as curvas de nível da função vai ajudar bastante!
A função pode valer para vários valores de :
E o conjunto desses que vai ser a imagem da função.
Então temos que descobrir quais valores de são permitidos e quais não são. E na verdade já fizemos isso! Porque esse é a mesma coisa que a gente fez pra achar as curvas de nível, e acabou resultando na equação
Aí vimos que pode valer qualquer coisa, inclusive .
Ou seja, a função pode assumir qualquer valor real, então sua imagem é o conjunto dos reais.
Resposta
Curvas de nível:
Imagem:
Exercício Resolvido #4
Seja
a) Esboce a curva de nível de que corresponde ao nível . Em que pontos essa curva intercepta o eixo ?
Passo 1
a)
Ok, ele quer a curva de nível que tem . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função e igualá-la a :
E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?
Dividindo tudo por ,
Passo 2
Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o ? Só pensar que o coeficiente do é duas vezes o coeficiente do vezes o segundo termo do produto notável. Assim,
E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em !
Passo 3
Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo ? Para saber disso, temos que fazer , e então teremos o ponto pedido :)
Tirando a raiz quadrada dos dois lados,
Passo 4
Mas tome muito cuidado agora! Encontramos os pontos e , certo? Não! Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores na função temos uma divisão por zero.
Assim, temos apenas o ponto , pois a curva não toca a origem:
Passo 5
Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:
Então, como nosso e , seu centro está em . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, e na direção e e na direção !
Resposta
a) Corta o eixo no ponto , apenas.
Exercício Resolvido #5
Considere a função
- Escreva a equação da curva de nível de que contém o ponto e da curva de nível que contém o ponto
- Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de que contém o ponto , com .
- Mostre que o valor de sobre a reta é constante, isto é, que está contida em um conjunto de nível de .
- Mostre que o valor de sobre a reta é constante, isto é, que está contida em um conjunto de nível de .
- Se, por um momento, representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: ou ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Para achar a curva de nível precisamos do valor de , como ele deu um ponto que a curva de nível está vamos trocar esse ponto na função e achar nosso , começando pelo ponto
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa curva de nível.
Passo 2
Vamos fazer a mesma coisa para o outro ponto ,
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa outra curva de nível.
Passo 3
Vamos fazer a mesma coisa de novo, só que dessa vez no ponto
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa curva de nível. Você deve estar se perguntando onde entra aquela restrição, isso serve para vermos que o cara dentro do no valor de é positivo, e assim podemos ter o logaritmo sem problemas. Ele é positivo porque
Sacou?
Passo 4
Basta trocar esse valor de na função e ver se vai ser constante.
Que, por mais feio que seja, é uma constante.
Então essa reta é uma curva de nível.
Passo 5
Basta trocar esse valor de na função e ver se vai ser constante.
Que, por mais feio que seja, é uma constante.
Então essa reta é uma curva de nível.