Curvas de Nível

Teoria Completa

O que é isso:

Curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico z = f ( x ,   y ) com um plano z = k (onde k é uma constante). Na prática, é só igualar a função a uma constante:

f x , y = k

E depois ver qual curva é essa! Ou seja, é uma curva que é a interseção entre um plano paralelo ao x y e o gráfico de z = f ( x ,   y ) . Fica ligado numa coisa: essa curva sempre está no plano x y ! Chamamos a representação das curvas de nível de uma função de mapa de contorno.

Exemplo:

f x ,   y = x 2 + y 2

Observação: perceba que essa superfície é a parte superior de um cone circular!

Curvas de nível:

f x ,   y = k ⇒ x 2 + y 2 = k ⇒ x 2 + y 2 = k 2

Então, a uma certa altura z = k , a interseção entre o cone e o plano z = k é um círculo de raio k . Fica mais fácil entender isso quando visualizamos graficamente. Dá uma olhada:

Se a gente pegar essa curva em vermelho e projetar lá no plano x y nós teremos uma curva de nível! Agora para obter todas as curvas de nível a gente precisaria ir variando o valor de k .

Observação: note que, no nosso exemplo, k deve ser maior ou igual a zero pois f ( x , y ) é sempre maior ou igual a zero (pois é a parte superior de um cone)! Se k = 0 , a curva de nível se reduz ao ponto ( 0,0 ) .

Algumas observações:

Observação 1: Você pode também se deparar com questões desse tipo:

“Ache o nível da curva de nível da função f x , y = x 2 - y + 3 que passa pelo ponto cujas coordenadas x , y são 1 ,   2 ”. Nesse caso basta substituir os valores na função!

f 1 ,   2 = 1 - 2 + 3 = 2

Ou seja, essa é a curva de nível 2 da função.

Observação 2: A respeito do espaçamento das curvas de nível, é importante reparar que quanto mais elas são próximas, mais rápido a função está variando. Da mesma forma, quanto mais espaçadas, mais lenta é essa variação.

Por exemplo, dá uma olhada nessa figura mostrando uma repartição da pressão atmosférica nos Estados Unidos:

Podemos ver que no noroeste as curvas de nível estão muito próximas. Portanto, a variação da pressão é muito alta!

Observação 3: Uma última coisa antes de partirmos pros exercícios: quando você for estudar as curvas de nível de uma função, é bom saber qual é o domínio dela. Se uma função não está definida num ponto, nenhuma curva de nível pode passar por ele.

Por exemplo, saca essa função aqui

f x , y = y x

Dá pra achar o domínio dela tranquilamente. A única restrição é x ≠ 0 . Logo, as curvas de nível y = k x , não estão definidas para x = 0 . Por exemplo, aqui está a curva de nível 2 da função:

Captou a mensagem? Então vamos ver uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 827 - 41

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = y - ln ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é tranquila! Pra achar as equações das curvas de nível, basta igualar a função a uma constante qualquer k :

y - ln ⁡ x = k

⇒ y = ln ⁡ x + k

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o k .

Passo 2

Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:

Na figura temos, de verde, o gráfico da função y = cos ⁡ x e em cima, de laranja, o gráfico da função y = cos ⁡ x + 2 .

E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa mas com a função y = ln ⁡ x , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo!

Passo 3

O gráfico da função y = ln ⁡ x   é assim, lembra?

Agora é só transpor o gráfico várias vezes! Ele não disse quantas exatamente, mas fazendo umas 4 ou 5 deve tar de bom tamanho.

Passo 4

Eu fiz k valer - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 e 2 , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p. 71 – exemplo 3.3

A temperatura em um ponto ( x , y ) de uma placa de metal plana é T x , y = 9 x 2 + 4 y 2 graus.

  1. Encontre a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ) .
  2. Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus.
  3. Esboce a curva do item (b).
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Resolvendo o item (a):

Basta substituir x = 1 e y = 2 para descobrir T ( 1,2 ) :

T x , y = 9 x 2 + 4 y 2

T 1,2 = 9 1 2 + 4 2 2

T 1,2 = 9 + 16

⇒ T 1,2 = 25

Passo 2

Resolvendo o item (b):

Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a 36 . Logo:

T x , y = 36

⇒ 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Dividindo os dois lados por 36 :

9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 36 36

⇒ x 2 4 + y 2 9 = 1

Portanto, os pontos ( x , y ) que satisfazem essa equação satisfazem T x , y = 36 .

Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função T ( x , y ) !

Passo 3

Perceba que equação da curva que acabamos de encontrar é uma elipse.

Portanto, seu gráfico é o seguinte:

Resposta

  1. T 1,2 = 25

  2. x 2 4 + y 2 9 = 1

Exercício Resolvido #3

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 161 – 2c

Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

f x , y = x - y x + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos por partes, começando pelas curvas de nível.

Pra achar as equações dessas curvas de nível temos que igualar a função a uma constante qualquer k :

x - y x + y = k

Passo 2

Vamos tentar isolar o y , deixando ele em função de x :

x - y = k x + y

⇒ k y + y = x - k x

y k + 1 = x 1 - k

y = 1 - k 1 + k x

Beleza, aí está nossa equação explícita! :)

Passo 3

Agora só temos que fazer variar o k