Exercícios Resolvidos de Curvas Tridimensionais

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Enunciado

Um circuito RLC em corrente alternada pode ser modelado pela seguinte equação:

I = v m R 2 + w L - 1 w C 2

Onde L , R   e C são respectivamente a indutância do indutor, resistência do resistor e a capacitância do capacitor.

Utilizando a equação acima em conjunto com os dados fornecidos abaixo, gere uma superfície tridimensional e calcule o valor de w para qual o valor de I   seja máximo.

Dados:

C = 15 μ F , L = 240 m H   e   v m = 24   V

60 ≤ w ≤ 110   H z

10 ≤ R ≤ 40   Ω

Passo 1

Aqui é uma questão de simples execução, que pede para plotar a superfície tridimensional com os valores de corrente, em função da resistência do resistor e da frequência angular do sistema.

Porém, para responder essa questão precisamos de alguns detalhezinhos importantes. Primeiramente, precisamos sempre nos lembrar de criar a malha através da função meshgrid.

A malha ela surge como uma alternativa para indicar que a variável z está associada com o par ordenado ( x , y ) . Se apenas indicarmos o vetor x e depois o vetor y teremos apenas dois vetores cada um com uma única dimensão e eles não estão formando um plano. Então, a função meshgrid surge para corrigir isso.

Ela pega o vetor x em conjunto com o vetor y e unifica eles para formar um espaço de dimensão 2 que chamamos no ensino médio de plano cartesiano, ou seja, ela cria o plano ( x , y ) para que possamos plotar a superfície 3D.

Segundamente, para encontrar a frequência angular precisamos nos lembrar da seguinte relação:

w = 2 * π * f

Uma vez que sabemos disso, precisamos elaborar o algoritmo para uma melhor compreensão do programa, sendo assim o algoritmo é dado por:

1-Entrada de dados

2-Criação da malha

3-Cálculo do I

4-plotagem da superfície e das curvas de nível.

5-formatação do gráfico.

Passo 2

Uma vez criado o algoritmo, precisamos apenas inserir no Matlab. O código primeiramente é

composto pela entrada de dados que corresponde a:

f = 60 : 1 : 110

R = 10 : 1 : 40

C = 15 E - 6

L = 240 E - 3

v = 24

w = 2 * p i * f

Aqui foi adotado um incremento de 1, pois o intervalo já é demasiadamente grande.

Se colocássemos um intervalo pequeno, ficaria muitos pontos e o computador poderia demorar mais para rodar o programinha.

Agora precisamos criar a malha e como nossa função depende de R   e   w , temos que eles fazem os papéis dos eixos x   e   y , então a função meshgrid se torna:

R , w = m e s h g r i d ( R , w )

Uma vez que criamos a malha precisamos calcular a função I

I = v m R 2 + w L - 1 w C 2

Agora precisamos criar a função para criação da superfície. No argumento, escrevemos primeiro as variáveis R e w, com os pares ordenados da nossa malha. Depois escrevemos a variável que contém os valores da função, que definem a altura da nossa superfície, ou seja, a variável I.

s u r f R , w , I

Agora precisamos apenas formatar o gráfico utilizando as funções label

x l a b e l ( ' R e s i s t e n c i a   e m   o l m ' )

y l a b e l ( ' F r e q u e n c i a   a n g u l a r   e m   H z ' )

z l a b e l ( ' C o r r e n t e   d o   s i s t e m a ' )

t i t l e ( ' E x e r c i c i o   N 5   R e s p o n d e A I ' )

Passo 3

O código em Matlab ficará algo mais ou menos assim:

Executando o código poderemos obter a seguintes curva:

Resposta

Ao clicar no ponto mais alto da curva conseguimos obter um valor de frequência que é aproximadamente 527.78 hz, que esse corresponde a frequência de ressonância.