Exercícios Resolvidos de Curvas Tridimensionais

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Enunciado

A escada de um caminhão do corpo de Bombeiros pode ser erguida verticalmente (ângulo ), girada em relação ao eixo z (ângulo θ ) e pode ser alongada (distância r).

Inicialmente, a escada repousa sobre o caminhão, ∅ = 0 , θ = 0 e r = 8   m .

À medida que a escada é movida para uma nova posição, os ângulos e θ   modificam e aumentam a uma taxa de 5   g r a u s / s e 8   g r a u s / s , respectivamente e a escada se alonga a uma taxa de 0.6   m / s .

Determine e plote a posição da extremidade (ponta) da escada para 10 segundos de operação.

Passo 1

Opa pessoal, aqui temos um probleminha de curva tridimensional.

Esse probleminha se configura como uma curva tridimensional porque ele pergunta a posição da extremidade da escada no espaço, ou seja, precisamos do valor de x , y   e   z que descrevem a posição da ponta da escada em qualquer lugar no no espaço.

Mas não é só isso, a movimentação das variáveis x , y   e   z está amarrada com as variáveis r ,   ∅ e θ .

Logo precisamos arrumar alguma função que faça as variáveis x , y   e   z variar conforme as variáveis r ,   ∅ e θ modificam seus valores e essas funções recebem o nome de coordenadas esféricas e são definidas pelo cálculo diferencial pelo conjunto de tais equações:

x = r * c o s c o s   θ   * s e n ∅

y = r * s e n θ * s e n ∅

z = r * c o s c o s   ∅  

Essas equações servem basicamente para descrever o movimento de algum corpo no espaço tridimensional a partir de variáveis trigonométricas como r ,   ∅ e θ .

Sendo assim, vamos utilizar essas funções para descrever o movimento da escada no espaço tridimensional.

Agora para essas funções variar precisamos definir os vetores r ,   ∅   e   θ   pois elas dependem dessas três quantidades, mas lembrando que os ângulos precisam estar em radianos.

E finalmente para resolver o problema vamos utilizar a função p l o t 3 d , pois queremos ver a trajetória de um único ponto e essa função ela imprime justamente as trajetórias desse ponto.

Sendo assim, o algoritmo se torna:

1-implementação dos vetores r ,   ∅   e   θ   .

2-implementação das coordenadas esféricas

3-chamar a função plot3d e analisar a curva

Passo 2

Primeiramente vamos definir o vetor θ , para isso precisamos da informação da questão que a variação dele é de 8   g r a u s / s e começando do valor 0.

Porém para utilizar as funções precisamos converter isso em radianos utilizando aquela formulinha que aprendemos no ensino médio que dada por:

θ ( r a d ) = θ ( g r a u ) / 180 * π  

Logo, o incremento se torna:

8 g r a u s s = 8 180 * π   r a d s / s

e após 10 segundos temos que:

80 g r a u s s = 80 180 * π   r a d

E realizando a mesma operação para o ∅ , temos

5 180 * π   r a d s / s

E após 10 segundos temos:

50 180 *   π   r a d s / s

Logo os vetores se tornam:

t e t a = 0 : 8 180 * p i : 80 180 * p i

f i = 0 : 5 180 * p i : 50 180 * p i

E por último temos o vetor r com um incremento de 0.6   m / s que após 10 segundos aumenta mais 6 metros na escada, gerando assim:

r = 8 : 0.6 : 14

Agora que conseguimos criar o algoritmo, vamos criar o códigozinho no Matlab.

Primeiramente vamos inserir os vetores no Matlab.

t e t a = 0 : 8 180 * p i : 80 180 * p i ;

f i = 0 : 5 180 * p i : 50 180 * p i ;

r = 8 : 0.6 : 14 ;

Agora vamos implementar as coordenadas esféricas, mas lembre-se, tanto os ângulos quanto o raio são vetores e as operações são feitas termo a termo.

Logo precisamos colocar o “.” Para indicar que é feito termo a termo no Matlab, deixando as expressões assim:

x = r . * c o s c o s   t e t a   . * s i n s i n   f i  

y = r . * s i n s i n   t e t a   . * s i n s i n   f i  

z = r . * c o s c o s   f i  

Passo 3

E para finalizar vamos chamar o p l o t 3 d , para chamar essa função precisamos de três argumentos.

O primeiro argumento corresponde ao eixo X , o segundo ao eixo Y e o terceiro o eixo Z .

Sendo assim a função fica:

p l o t 3 d x , y , z

Se você digitou seu código tudo certinho, temos o seguinte código:

Executando o código geramos a seguinte curva:

Passo 4

Para localizar a posição da escada no espaço basta clicar na pontinha do final da curva na sua janela gráfica e irá aparecer a seguinte informação:

Que corresponde ao ponto:

x = 8.83231

y = 10.5617

z = 2.43107

Resposta

A posição da extremidade da escada após 10 segundos se torna:

x = 8.83231

y = 10.5617

z = 2.43107