Exercícios Resolvidos de Curvas Tridimensionais

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Enunciado

A tensão em um determinado material é definida como a força por unidade de Área e é uma das entidades mais importantes para engenharia pois é a partir dela que podemos identificar se um equipamento está próximo de uma determinada falha.

Sendo assim a componente de tensão σ x x devido aos momentos de flexão M z   e M y aplicados em um ponto arbitrário ( y , z ) na seção reta de uma viga retangular é dada por:

σ x x = - M z * y I z z + M y * z I y y

Onde I z z e I y y são os momentos de inércia de cada uma das faces relevantes, definidos por:

I z z = 1 12 * b h 3

I y y = 1 12 h b 3

Determine e plote um gráfico da tensão normal sobre a seção reta mostrada na figura abaixo, dado que: h = 40 E - 3 m

b = 30 E - 3 m

M z = 3600   N m

M y z = 2500   N m

Passo 1

Opa galera, aqui temos um problema de uma superfície tridimensional e para verificar isso basta analisarmos a função dada.

Analisando a função temos que a função tensão depende de duas variáveis independentes que é as variáveis ( y , z ) sendo assim o plot da função tensão tem três eixos.

A função tensão e as variáveis y e z como geram três eixos em um gráfico se caracterizam como um problema de uma superfície tridimensional.

Para resolver esse problema vamos utilizar a função s u r f para plotar a função, pois a função s u r f é uma das funções responsáveis para o plot de superfícies tridimensionais no Matlab.

Más antes disso temos que utilizar a função m e s h g r i d , a função m e s h g r i d tem o papel no nosso programinha de pegar dois vetores de entrada e transformá-los em um plano bidimensional para que assim possamos plotar a nossa função.

Esse plano bidimensional é extremamente importante pois nossa superfície é plotada sobre ele, esse plano recebeu o nome comumente no ensino médio de plano cartesiano.

Sendo assim o algoritmo para a resolução do nosso problema é dado por:

1-Entrada dos dados do problema.

2-Criação dos vetores y , z

3-utilização da função meshgrid para gerar o plano.

4-Cálculo da função tensão.

5-plot do gráfico e organização do mesmo.

Passo 2

Agora que já criamos o algoritmo basta transformá-lo em nosso códigozinho do Matlab.

Primeiramente vamos implementar a entrada de dados

h = 40 E - 3

b = 30 E - 3

M y = 2500

M z = 3600

I z z = 1 12 * b * h 3

I y y = 1 12 * h * b 3

Agora vamos criar os vetores y e z , para não ficar o programa com muitos pontos vamos colocar um incremento que corresponde a seu valor máximo dividido por 20 .

y = 0 : h 20 : h

z = 0 : b 20 : b

Agora que criamos o vetor precisamos criar a malha com a função m e s h g r i d , cuja a sintaxe se segue colocando as variáveis de saída dentro de colchetes e as variáveis de entrada dentro de parênteses logo após chamar a função.

Y , Z = m e s h g r i d y , z

Uma vez que criamos a malha, precisamos apenas calcular a função. Lembrando que estamos realizando a operação a cada elemento da saída da função m e s h g r i d

s i g m a = - M z I z z * Y + M y I y y * Z

Agora que criamos a função sigma vamos criar o plot.

Passo 3

Para chamar a função s u r f precisamos de 3 argumentos, o primeiro e o segundo argumento é a saída da função meshgrid que corresponde aos eixos do plano cartesiano.

s u r f Y , Z ,

E o último argumento é justamente a função que queremos plotar.

s u r f Y , Z , s i g m a

E para finalizar vamos nomear os eixos para a superfície ficar de uma forma mais organizada.

Para isso utilizando as funções l a b e l e sua sintaxe é a seguinte:

vamos digitar o eixo que queremos nomear, por exemplo, se eu quero o eixo x vou escrever.

x l a b e l

Após escrever isso vou abrir os parênteses e escrever um string com o nome do eixo.

Lembrando que o string criamos escrevendo o texto em aspas simples, ou seja, deve ficar assim:

x l a b e l ' y m '

E seguindo o mesmo passo a passo nos demais eixos:

y l a b e l ( ' z m ' )

z l a b e l ( ' t e n s ã o   ( P a ) ' )

Logo seu código deve ficar algo mais ou menos assim:

Executando o código irá obter a seguinte superfície:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)