Exercícios Resolvidos de Curvas Tridimensionais

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Enunciado

Três lados de uma placa retangular a = 8   m

b = 5   m

São mantidos à temperatura de 0 °C, e o outro lado é mantido à temperatura de 80 °C como mostrado na figura abaixo:

Determine e plote a distribuição de temperatura T ( x , y ) da placa sabendo que a função que gera essa curva é dada por:

T x , y = 4 T 1 π ∑ n s i n 2 n - 1 π x a   2 n - 1 * s i n h 2 n - 1 π y a   s i n 2 n - 1 π b a  

Passo 1

Opa galerinha iae tudo bem?

Quando estudamos em engenharia problemas de transferência de energia entre corpos geralmente as funções que descrevem como a temperatura varia no espaço são dadas por funções dessa natureza.

Esse tipo de função recebe o nome de séries, ou seja, ela é uma soma de um bocado de termos.

Por exemplo quando n for igual a 1 temos:

T x , y = 4 T 0 π s i n 2 * 1 - 1 π x a   2 * 1 - 1 * s i n h 2 * 1 - 1 π y a   s i n 2 * 1 - 1 π b a  

Já quando n for igual a 2 temos:

T x , y = 4 T 0 π s i n 2 * 1 - 1 π x a   2 * 1 - 1 * s i n h 2 * 1 - 1 π y a   s i n 2 * 1 - 1 π b a   + s i n 2 * 2 - 1 π x a   2 * 2 - 1 * s i n h 2 * 2 - 1 π y a   s i n 2 * 2 - 1 π b a  

Sendo assim, quanto mais termos nos damos a n, mais somas de senos a função detém e consequentemente a função descreve melhor a física do problema.

Porém, aqui já conseguimos notar que existe uma dificuldade monstruosa de fazer isso manual, certo? Imagine você colocar n=50… isso fica bem inviável de se fazer manualmente.

Então é aí que surge o Matlab, o estudo dessas funções auxiliada com as ferramentas do Matlab é o que utilizamos para o estudo para descrever como uma determinada temperatura varia ao longo de uma placa metálica.

Como a variável temperatura que é nossa variável dependente varia com duas variáveis independentes que é os pontos x , y aqui temos um problema de uma superfície tridimensional.

Para a resolução de um problema de uma superfície tridimensional usamos a função s u r f mas para criar a função surf, precisamos criar o plano cartesiano.

O plano cartesiano é criado utilizando a função meshgrid, cujo o foco é pegar os dois vetores das variáveis independentes x , y e unificá-los em uma malha, gerando o plano cartesiano.

Onde faz com que os vetores x , y se torne uma matriz x , y para que nós possamos assim utilizar a função s u r f e plotar a superfície sobre o plano.

Ahh aqui como mostramos no início temos uma soma de funções que depende de um certo índice n e para isso vamos utilizar as estruturas de repetição f o r para ficar realizando essas somas de forma automática.

Além disso, a nossa função tem termos que depende de X e outros que depende de Y , então vamos precisar montar duas somas, a primeira vai calcular todas as parcelas que depende de X e a outra todas que dependem de Y , beleza?

Sendo assim o nosso algoritmo se torna:

1-Entrada de dados – Aqui vamos inserir os dados do problema

2-Criação dos vetores x e y

3-Criação do plano cartesiano com a função m e s h g r i d

4-início do primeiro laço para o cálculo das parcelas de X

4.1- Segundo laço para o cálculo das parcelas de Y

4.2-inserir a função

4.3-finalizar os laços

5-plotar com a função s u r f e organizar o gráfico.

Passo 2

Agora que criamos o algoritmo vamos montar o nosso programinha, primeiramente vamos colocar a entrada de dados:

a = 5

b = 8

T 0 = 80

Agora precisamos indicar o número n, pois é ele que vai dizer quantas vezes vamos somar uma função seno na nossa função temperatura, belezinha?

Vou colocar um número pequeno pois se colocar muito grande o cálculo fica pesado, então arbitrariamente vou colocar:

n f = 50

Agora vamos criar os vetores x , y para não ficar com um grande número de pontos vamos colocar as variações em torno do seu valor máximo dividindo por 20, sendo assim:

x = 0 : a / 20 : a

y = 0 : b / 20 : b

Agora que criamos os vetores x , y vamos criar o plano cartesiano com a função m e s h g r i d onde a sintaxe é a seguinte:

Primeiramente a variável de saída deve estar entre colchetes e a variável de entrada precisa estar entre parênteses, portanto:

X , Y = m e s h g r i d x , y

Agora vamos a parte complicada, o primeiro laço ele vai fazer com que a função varie e calcule seu valor em todos os valores de X ,   arbitrariamente vamos dar os valores de i para ele e fazemos ele variar até o número de elementos da matriz x com a função   l e n g t h .

Essa é uma função já vista antes que nos fala o número de elementos dentro de um vetor, ou seja, ela o número de vezes que o for vai se repetir é igual ao número de elementos dentro do vetor x.

O segundo laço faz com que a função varie em todos os valores de y   e vamos dar um nome arbitrário de j para ele e fazemos ele variar até o número de elementos da matriz y com a função l e n g t h

Lembrando que quando a=0, analisando a figura do problema a temperatura é 0, logo o T 0,0 = 0 , fazendo com que o laço comece de T = 0

E agora precisamos inserir as somas correspondentes a todos n termos do polinômio com a função.

Lembrando que estamos calculando cada elemento da função em cada elemento da matriz, logo o produto do seno pelo seno hiperbólico precisa colocar um “.” Para indicar que a operação é termo a termo.

Após finalizar o laço do n temos que toda a matriz é multiplicada pelo termo

4 T 0 π

Logo essa última parte fica:

Sendo assim, a estrutura de repetição completa fica:

E para finalizar vamos chamar a função s u r f e para isso vamos precisar de 3 argumentos.

Os dois primeiros argumentos é a saída da função m e s h g r i d obrigatoriamente, sendo assim, a função fica:

s u r f X , Y ,

E para finalizar o último argumento é a variável Z que queremos plotar que no caso é a temperatura, logo:

s u r f X , Y , T

E agora vamos nomear os eixos utilizando as funções l a b e l para organizar melhor a janela gráfica.

Para isso vamos digitar o eixo que queremos nomear por exemplo se eu quero o eixo x vou escrever:

x l a b e l

Após escrever isso vou abrir o parênteses e escrever um string com o nome do eixo.

Lembrando que o string criamos escrevendo o texto em aspas simples, ou seja, deve ficar assim:

x l a b e l ' x m '

E seguindo o mesmo passo a passo nos demais eixos:

y l a b e l ( ' y m ' )

z l a b e l ' T e m p e r a t u r a   ° C '

E finalmente seu código deve ficar algo mais ou menos assim:

Passo 3

E finalmente se executar o código temos a seguinte superfície.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)