Exercícios Resolvidos de Deformação em estruturas hiperestáticas – verificação do diagrama com carregamento externo

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Enunciado

Para a viga abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto B.

u s a r   E J = 5   x   10 4 k N m 2

Passo 1

Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:

P   ¯ .   δ =   ∫ M .   M 0   ¯ E J   d s +   ∫ N   N 0   ¯ E S   d s +   ∫ x . Q .   Q 0   ¯ G S   d s +   ∫ T   .   T 0   ¯ G J t   d s

Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores

P   ¯ .   δ =   ∫ M .   M 0   ¯ E J   d s

e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:

P   ¯ .   δ = 1 E J   ∫ M .   M 0   ¯   d s

e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.

Passo 2

Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos tanto do apoio A quanto do apoio B, e ainda no ponto B podemos quebrar um dos vínculos de força, nesse caso vou quebrar o horizontal. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:

Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto B obtemos que:

E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.

Passo 3

Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.

Porém sabemos também que devemos separar o nosso diagrama semi-parabólico em um retângulo e uma parábola. Mas perceba que vamos ter que tomar um cuidado dobrado, porque a presença da carga concentrada no meio do nosso vão faz com que tenhamos uma parábola com um triangulo em cada metade da nossa viga, mas vamos por partes, primeiro separando a parábola do retângulo teremos:

Perceba que em cada metade de viga temos uma parábola inteira, que está deslocada pelo triangulo retângulo interno a ela, o que podemos fazer é novamente separar as duas estruturas, conforme a figura abaixo:

Com todas as divisões feitas precisamos agora apenas combinar os diagramas:

Substituindo na equação vamos ter que:

P   ¯ .   δ = 1 E J   ∫ M .   M 0   ¯   d s

1 .   δ = 1 5   x   10 4   4860 + 540 + 4860 + 540 - 8370 = 2430 5   x   10 4 = 0,0486   m

δ = 48,6 m m

Resposta

δ = 48,6 m m