Exercícios Resolvidos de Densidade de Corrente Variável

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Enunciado

A figura abaixo ilustra um cilindro condutor maciço de raio R que é percorrido por uma corrente elétrica I , onde 0 ≤ r ≤ R é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro.

  1. Calcule a expressão para a corrente elétrica I quando a densidade de corrente J r = J 0 r / R , onde J 0 é uma constante.
  2. Calcule a expressão para a corrente elétrica I quando a densidade de corrente J = J 0 ( 1 - r / R ) , onde J 0 é uma constante.
  3. Dentre as correntes calculadas nos itens (a) e (b), qual é a maior? Justifique sucintamente o fato de uma corrente ser maior que a outra.

Passo 1

a) Para resolvermos os dois primeiros itens, vamos dar uma olhada para a figura abaixo, que mostra apenas a seção transversal atravessada pela corrente I , que é perpendicular à página e está saindo dela, na direção e sentido de + z ^ .

Neste caso, podemos escrever o vetor área como

d A → = 2 π r d r + z ^ ,

cujo módulo obtivemos considerando o elemento de área mostra na figura acima. Essa é a área atravessa pela corrente I , cujo vetor densidade de corrente é   J → = J 0 r R ( + z ^ ) . Portanto,   d A → e   J → são paralelos e vamos usar isso também para matar o item b depois.

Como  J → é uma densidade superficial de corrente, ou seja, é uma grandeza que dá a quantidade de corrente por unidade de área, a corrente I é escrita como:

I = ∫ S J → ⋅ d A →   ,

que é a integral do produto escalar entre   J → e   d A → . Nesse caso, como  d A → J → são paralelos, I fica

I = ∫ J 0 r R   ( 2 π r d r ) = 2 π J 0 R   ∫ 0 R r 2 d r     ⇒     I   =   2 π J 0 R 2 3 = I a .

Passo 2

b) Aqui, vamos substituir a outra expressão para J :

I = ∫ J 0 1 - r R ( 2 π r d r ) = 2 π J 0 ∫ 0 R r d r - 1 R ∫ 0 R r 2 d r = 2 π J 0 R 2 2 - 1 R R 3 3   ,

que simplificada tem esta outra “cara”:

I = π J 0 R 2 3 = I b .

Passo 3

c) A corrente I a do item a) é maior do que a I b do item b): I a = 2 I b . Isso acontece porque a densidade de corrente no item a) aumenta linearmente com a distância r a partir do centro, ou seja, à medida que área atravessada pela corrente aumenta, a quantidade de corrente que atravessa essa área também aumenta resultando em uma corrente total I maior.

Já no caso do item b), a densidade de corrente diminui linearmente com r , o que significa que à medida que área pela qual a corrente passa aumenta, a quantidade de corrente diminui, o que dá, no final das contas, uma corrente total I menor.

Resposta

  1. I   =   2 π J 0 R 2 3 = I a   ;
  2. I   =   π J 0 R 2 3 = I b   ;
  3. I a = 2 I b > I b , pois a densidade de corrente no item a) aumenta com r e a do item b) diminui com r à medida que a área aumenta.

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