Exercícios Resolvidos de Deslocamento em Estruturas Isostáticas – Revisão de Trabalhos Virtuais

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Enunciado

Calcule o deslocamento horizontal do ponto B, para a treliça abaixo. Usar para todas as barras da treliça:

E S = 5   x   10 4   k N

Passo 1

Como queremos saber o deslocamento da nossa estrutura já sabemos que antemão que podemos usar a seguinte fórmula

P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

Sabemos também que em treliças podemos desprezar três parcelas (devido ao momento, ao cortante e ao torque). Com isso nossa fórmula passa a ser.

P   ¯ .   δ =   ∫   N   ¯ . N E S d s

Como temos várias barras, iremos precisar calcular o diagrama de todas elas, logo teremos

P   ¯ .   δ =     ∫ 0 A B   N A B   ¯ . N A B E A B S A B   d s + ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C E B C S B C   d s + ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C E A C S A C   d s + ∫ 0 B D   N B D   ¯ . N B D E B D S B D   d s + ∫ 0 C D   N C D   ¯ . N C D E C D S C D   d s

E como todas as barras possuem o mesmo módulo de elasticidade e a mesma área, a nossa fórmula fica sendo, de maneira simplificada o seguinte.

P   ¯ .   δ = 1 E S     ∫ 0 A B   N A B   ¯ . N A B   d s +   ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C   d s +   ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C   d s +   ∫ 0 B D   N B D   ¯ . N B D   d s +   ∫ 0 C D   N C D   ¯ . N C D   d s

Em que precisamos determinar os diagramas normais tanto para o caso unitário quanto para o caso real.

Passo 2

Como queremos determinar o deslocamento horizontal, basta aplicarmos uma carga unitária no ponto em que se deseja determinar o deslocamento, e na direção desejada, nesse caso, uma carga horizontal em B.

Fazendo o diagrama de corpo livre temos que a reação de apoio será dada por

Tendo as reações de apoio traçamos o diagrama de normais da treliça devido a carga unitária (não iremos detalhar essa parte nessa aula, mas falamos muito sobre isso no tópico solução de treliças no assunto Treliças e estruturas isostáticas)

Perceba que alguns normais são iguais a zeros, o que podemos usar para simplificar a nossa equação, sabemos que:

N A B ¯ = N A C ¯ = N C D ¯ = 0

Logo a nossa equação será

P   ¯ .   δ = 1 E S ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C   d s +   ∫ 0 B D   N B D   ¯ . N B D   d s

E lembre-se que no caso de treliças as equações dos normais serão constantes, que serão escritos como:

N B C ¯ = - 1   k N

N B D ¯ = 1,4   k N

Passo 3

Agora precisamos fazer o mesmo diagrama para a estrutura real do nosso problema. Nossa estrutura real é:

Calculando as reações de apoios teremos que:

Com as reações de apoio podemos determinar os diagramas de normais

Perceba que com a nossa equação simplificada só iremos precisar do valor de duas barras, que são:

N B C ¯ = - 700   k N

N B D ¯ = 282,8   k N

Passo 4

Precisamos determinar o comprimento de cada uma das barrinhas da nossa treliça, para podermos substituir tudo na nossa fórmula. Fazendo Pitágoras vamos encontrar que:

Passo 5

Agora basta juntarmos na nossa fórmula cada uma das equações encontradas

P   ¯ .   δ = 1 E S ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C   d s +   ∫ 0 B D   N B D   ¯ . N B D   d s

E S . 1 .   δ = ∫ 0 2 ( - 1 ) ( - 700 )   d s +   ∫ 0 2 2 1,4   . 282,8   d s

E S . 1 .   δ = 700 x   2 0 +   395,92 x   2 2 0

5   .   10 4 .   δ = 700   .   2 + 395,92   .   2 2 = 2519,83

δ = 0,050 m = 50 m m

perceba que o deslocamento deu positivo, ou seja, arbitramos a carga unitária na direção correta do que de fato a estrutura se movimenta, e por isso tivemos um valor positivo.

Resposta

δ = 0,050 m = 50 m m