Exercícios Resolvidos de Deslocamento em Estruturas Isostáticas – Revisão de Trabalhos Virtuais

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Enunciado

Calcule o deslocamento horizontal de D, para o pórtico abaixo. Usar para todas as barras

E J = 2   x   10 4   k N . m 2

Passo 1

Como queremos saber o deslocamento da nossa estrutura já sabemos que antemão que podemos usar a seguinte fórmula

P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

Sabemos também que em pórticos sem tirantes podemos desprezar as outras três parcelas (devido ao normal, ao cortante e ao torque). Com isso nossa fórmula passa a ser.

P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s

Como temos 3 barras a nossa conta fica da seguinte maneira:

P   ¯ .   δ =     ∫ 0 L 1   M 1   ¯ . M 1 E 1 J 1   d s + ∫ 0 L 2   M 2   ¯ . M 2 E 2 J 2   d s + ∫ 0 L 3   M 3   ¯ . M 3 E 3 J 3   d s

E como todas as barras possuem o mesmo módulo de elasticidade e o mesmo momento polar de inércia, a nossa fórmula fica sendo, de maneira simplificada o seguinte.

P   ¯ .   δ = 1 E J     ∫ 0 L 1   M 1   ¯ . M 1   d s + ∫ 0 L 2   M 2   ¯ . M 2   d s + ∫ 0 L 3   M 3   ¯ . M 3   d s

Em que precisamos determinar os diagramas de momento fletor tanto para o caso unitário quanto para o caso real.

Passo 2

Como queremos determinar o deslocamento unitário na direção A, basta aplicarmos uma carga unitária no ponto em que se deseja determinar o deslocamento, e na direção desejada, nesse caso, na direção horizontal.

Fazendo o diagrama de corpo livre temos que a reação de apoio será dada por

Tendo as reações de apoio traçamos o diagrama de momentos fletores do pórtico devido a carga unitária (não iremos detalhar essa parte nessa aula, mas falamos muito sobre isso no tópico solução de pórticos simples no assunto Treliças e estruturas isostáticas)

Perceba que o pórtico foi desenhado separado com o intuito de facilitar o desenho. O diagrama foi desenhado na direção das fibras tracionadas, que nesse caso são as fibras internas, e veja que podemos escrever os diagramas de momentos como uma função do comprimento de cada barra, e dessa maneira teremos a seguinte representação.

E assim deixamos pronto o diagrama de momentos devido a cargas unitárias.

Passo 3

Agora precisamos fazer o mesmo diagrama para a estrutura real do nosso problema. Nossa estrutura real é:

Calculando as reações de apoios teremos que:

∑ M A = 5   .     V D - 3   .     5 = 0

V D = 3   k N

∑ F y =     V D + V A = 0

3 + V A = 0

V A = - 3   k N

∑ F x =   5 - H A = 0

5 - H A = 0

H A = 5   k N

Com as reações de apoio podemos determinar os diagramas de momentos fletores

Perceba que o pórtico foi desenhado separado com o intuito de facilitar o desenho. O diagrama foi desenhado na direção das fibras tracionadas, que nesse caso são as fibras internas, e veja que podemos escrever os diagramas de momentos como uma função do comprimento de cada barra, e dessa maneira teremos a seguinte representação.

E assim deixamos pronto o diagrama de momentos devido a cargas reais.

Passo 4

Agora basta juntarmos na nossa fórmula cada uma das equações encontradas

P   ¯ .   δ = 1 E J     ∫ 0 L 1   M 1   ¯ . M 1   d s + ∫ 0 L 2   M 2   ¯ . M 2   d s + ∫ 0 L 3   M 3   ¯ . M 3   d s

E J . 1 .   δ =     ∫ 0 3 x   .   5 x   d x + ∫ 0 5 3   .   ( 15 - 3 x )   d x + ∫ 0 L 3 - x + 3 . 0   d x

E J . 1 .   δ =     ∫ 0 3 5 x 2   d s + ∫ 0 5 45 - 9 x d s

E J . 1 .   δ =   5 x 3 3   3 0 + 45 x - 9 x 2 2 5 0

E J . 1 .   δ =   5   .     3 3 3   + 45   .     5 - 9   .   5 2 2 = 157,5

E J .   δ = 157,5

2   .   10 4 .   δ = 157,5

δ = 0,007875   m

δ = 7 , 875   m m

δ = 7,8 8   m m

perceba que o deslocamento deu positivo, ou seja, arbitramos a carga unitária na direção correta de deformação, e por isso tivemos um valor positivo.

Resposta

δ = 7,88   m m