Exercícios Resolvidos de Deslocamento em Estruturas Isostáticas – Revisão de Trabalhos Virtuais

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Enunciado

Calcule o deslocamento vertical do ponto C, para a treliça abaixo. Usar para todas as barras da treliça:

E S = 5   x   10 4   k N

Passo 1

Como queremos saber o deslocamento da nossa estrutura já sabemos que antemão que podemos usar a seguinte fórmula

P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

Sabemos também que em treliças podemos desprezar três parcelas (devido ao momento, ao cortante e ao torque). Com isso nossa fórmula passa a ser.

P   ¯ .   δ =   ∫   N   ¯ . N E S d s

Como temos várias barras, iremos precisar calcular o diagrama de todas elas, logo teremos

P   ¯ .   δ =     ∫ 0 A B   N A B   ¯ . N A B E A B S A B   d s + ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C E B C S B C   d s + ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C E A C S A C   d s + ∫ 0 A D   N A D   ¯ . N A D E A D S A D   d s + ∫ 0 C D   N C D   ¯ . N C D E C D S C D   d s + ∫ 0 C E   N C E   ¯ . N C E E C E S C E   d s + ∫ 0 C F   N C F   ¯ . N C F E C F S C F   d s + ∫ 0 E F   N E F   ¯ . N E F E E F S E F   d s + ∫ 0 F D   N F D   ¯ . N F D E F D S F D   d s

E como todas as barras possuem o mesmo módulo de elasticidade e a mesma área, a nossa fórmula fica sendo, de maneira simplificada o seguinte.

P   ¯ .   δ = 1 E S     ∫ 0 A B   N A B   ¯ . N A B   d s +   ∫ 0 B C   N B C   ¯ . N B C   d s +   ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C   d s +   ∫ 0 A D   N A D   ¯ . N A D   d s +   ∫ 0 C D   N C D   ¯ . N C D   d s + ∫ 0 C E   N C E   ¯ . N C E   d s + ∫ 0 C F   N C F   ¯ . N C F   d s + ∫ 0 E F   N E F   ¯ . N E F   d s + ∫ 0 F D   N F D   ¯ . N F D   d s

Em que precisamos determinar os diagramas normais tanto para o caso unitário quanto para o caso real.

Passo 2

Como queremos determinar o deslocamento vertical na direção vertical, basta aplicarmos uma carga unitária no ponto em que se deseja determinar o deslocamento, e na direção desejada, nesse caso, uma vertical em C.

Fazendo o diagrama de corpo livre temos que a reação de apoio será dada por

Tendo as reações de apoio traçamos o diagrama de normais da treliça devido a carga unitária (não iremos detalhar essa parte nessa aula, mas falamos muito sobre isso no tópico solução de treliças no assunto Treliças e estruturas isostáticas)

Perceba que alguns normais são iguais a zeros, o que podemos usar para simplificar a nossa equação, sabemos que:

N A B ¯ = N B C ¯ = N C E ¯ = N E F ¯ = 0

Logo a nossa equação será

P   ¯ .   δ = 1 E S       ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C   d s +   ∫ 0 A D   N A D   ¯ . N A D   d s + ∫ 0 C F   N C F   ¯ . N C F   d s + ∫ 0 F D   N F D   ¯ . N F D   d s

E lembre-se que no caso de treliças as equações dos normais serão constantes, que serão escritos como:

N A C ¯ = - 0,707   k N

N A D ¯ = 0,500   k N

N C F ¯ = - 0,707   k N

N F D ¯ = 0,500   k N

Passo 3

Agora precisamos fazer o mesmo diagrama para a estrutura real do nosso problema. Nossa estrutura real é:

Calculando as reações de apoios teremos que:

Com as reações de apoio podemos determinar os diagramas de normais

Perceba que com a nossa equação simplificada só iremos precisar do valor de 4 barras, que são:

N A C ¯ = - 106,066   k N

N A D ¯ = 75   k N

N C F ¯ = - 671,751   k N

N F D ¯ = 75   k N

Passo 4

Precisamos determinar o comprimento de cada uma das barrinhas da nossa treliça, para podermos substituir tudo na nossa fórmula. Fazendo Pitágoras vamos encontrar que:

Passo 5

Agora basta juntarmos na nossa fórmula cada uma das equações encontradas

P   ¯ .   δ = 1 E S       ∫ 0 A C   N A C   ¯ . N A C   d s +   ∫ 0 A D   N A D   ¯ . N A D   d s + ∫ 0 C F   N C F   ¯ . N C F   d s + ∫ 0 F D   N F D   ¯ . N F D   d s

E S . 1   .   δ =       ∫ 0 3 2 ( - 0,707 ) . ( - 106,066 )   d s +   ∫ 0 3 ( 0,5 ) . ( 75 )   d s + ∫ 0 3 2 ( - 0,707 ) ( - 671,751 )   d s + ∫ 0 3 ( 0,5 ) . ( 75 )   d s

E S . 1 .   δ = 75 x   3 2 0 +   37,5 x   3 0 + 4 75 x   3 2 0 +   37,5 x   3 0

5   .   10 4 .   δ = 75   .   3 2 + 37,5   .   3 + 475   .   3 2 +   37,5   .   3   = 2558,45

δ = 0,0 5 117 m = 51,17 m m

perceba que o deslocamento deu positivo, ou seja, arbitramos a carga unitária na direção correta do que de fato a estrutura se movimenta, e por isso tivemos um valor positivo.

Resposta

δ = 0,05117 m = 51,17 m m