Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Dada a seguinte função de transferência:

G s = 4 s + 1 s + 1

  1. Faça um esboço das assíntotas da parte de razão de amplitude do diagrama de Bode.
  2. Indique o atraso de fase (ou avanço) em altas frequências ( ω → ∞ ) .

Passo 1

O item a) pede que a gente construa somente a parte de razão de amplitude do diagrama de Bode. Então vamos lá.

A função de transferência já veio do jeito que a gente gosta, naquele formato ( a s + 1 ) tanto no polo quanto no zero, então não precisamos multiplicar/dividir a função de transferência por nada.

Sendo assim, já podemos substituir s por i ω :

G i ω = 4 i ω + 1 i ω + 1

A expressão para a razão de amplitude será:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 4 i ω + 1 - 20 log ⁡ i ω + 1

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 4 ω 2 + 1 - 20 l o g   ω 2 + 1

Passo 2

O primeiro termo é o termo referente ao zero. Sendo assim, em frequências baixas a razão de amplitude será 0 e a partir da frequência de quebra, a razão de amplitude começará a subir a uma taxa de 20   d B / d e c a d a . A frequência de quebra nesse caso será ω = 1 4 = 0,25   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha verde no diagrama:

O segundo termo, que é referente ao polo, assim como o primeiro será 0 em frequências baixas. Entretanto, ao contrário do zero, a partir de sua frequência de quebra, o polo começa a decair a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a . Para esse caso, a frequência de quebra será ω = 1   r a d / s e g . Vamos representar esse segundo termo usando uma linha vermelha:

Passo 3

Agora que já representamos tanto o polo quanto o zero. Só precisamos juntar as duas linhas:

Entre ω = 0   r a d / s e g e ω = 0,25   r a d / s e g a razão de amplitude é 0 pois a frequência é muito baixa tanto para o polo quanto para o zero exercerem qualquer tipo de influência. A partir de ω = 0,25 r a d / s e g os efeitos do zero começam a ser sentidos e a razão de amplitude começa a se elevar, entretanto, em ω = 1   r a d / s e g , o efeito do polo também começa a se fazer presente, se anulando com o efeito do zero e mantendo a razão de amplitude constante.

Passo 4

O item b) pergunta qual o avanço\atraso de fase da função de transferência em altas frequências.

Apesar de não termos esboçado a parte do diagrama de Bode para o ângulo de fase, é possível prever essa resposta se pensarmos um pouco sobre a estrutura da função de transferência.

A função de transferência em questão apresenta um polo, de primeira ordem, e um zero, também de primeira ordem. Vamos pensar como o polo e o zero se comportam em altas frequências.

O zero em baixas frequências tem ângulo de fase 0 º e em altas frequências, + 90 º . Já o polo é o oposto, em baixas frequências ele também tem ângulo de fase 0 º , mas em altas frequências o ângulo de fase se torna - 90 º .

Sendo assim, em altas frequências teremos o efeito de um polo, - 90 º , e de um zero, + 90 º . Quando combinamos os dois o ângulo de fase resultante é 0 º . Portanto:

θ ω →   ∞ = 0 º

Resposta

θ ω →   ∞ = 0 º