Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Esboce o diagrama de Bode da razão de amplitude da função de transferência abaixo:

G s = ( s + 3 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 )

Passo 1

Bora lá então. O primeiro passo é deixar todos os polos e zeros no formato ( a s + 1 ) , como o polo que tá na origem não tem como ficar nesse formato, então não fazemos nada com ele.

G s = 3 2 s 3 + 1 s s + 1 s 2 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 3 2 i ω 3 + 1 i ω i ω + 1 i ω 2 + 1

A expressão para razão de amplitude, em d B , vai ficar:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 i ω 3 + 1 i ω i ω + 1 i ω 2 + 1 = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ i ω 3 + 1 - 20 log ⁡ i ω - 20 log ⁡ i ω + 1 - 20 log ⁡ i ω 2 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 2 2 + 1

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 2 2 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 3 2 = 3,52

Passo 3

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será 0 em frequências baixas e uma reta com inclinação + 20   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 3 . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora vamos representar os polos. Essa função de trnsgerÊncia tem três polos. Os polos tem razaõ de amplitude igual a 0 em baixas frequências e começam a decair a uma taza de - 20   d B / d e c a d a quando atingem a frequência de quebra. Para a função de transferência do exercício as função de quebra são 0   r a d / s e g , 1   r a d / s e g   e 2   r a d / s e g e nós vamos representar esses polos com linhas azul, amarelo e laranja, respectivamente:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

O diagrama começa em 3,52 que é o valor da constante inicial. Ele tem inclinação negativa de - 20   d B / d e c a d a desde o início devido ao polo na origem. Em ω = 1   r a d / s e g os efeitos do segundo polo surgem e a inclinação passa a ser de - 40   d B / d e c a d a . Em ω = 2   r a d / s e g o terceiro polo também começa a se manifestar e a reta fica mais acentuada ainda com inclinação - 60   d B / d e c a d a . Entretanto, em ω = 3   r a d / s e g começa-se a sentir o efeito do zero, e a inclinação da curva volta a ser de - 40   d B / d e c a d a .

Resposta