Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 1 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( 10 s + 1 )

Passo 1

Nessa função de transferência temos três polos e um zero e todos já estão no formato ( a s + 1 ) , então já podemos partir direto para a substituição:

G ( i ω ) = 1 ( i ω + 1 ) ( 2 i ω + 1 ) ( 10 i ω + 1 )

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 ( i ω + 1 ) ( 2 i ω + 1 ) ( 10 i ω + 1 ) = - 20 log ⁡ i ω + 1 - 20 log ⁡ 2 i ω + 1 - 20 log ⁡ 10 i ω + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 10 ω 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 1 - ∠ i ω + 1 - ∠ 2 i ω + 1 - ∠ 10 i ω + 1 = - tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 2 ω - tan - 1 ⁡ 10 ω

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 10 ω 2 + 1

Essa função de transferência apresenta três polos. Os polos têm razão de amplitude 0 em baixas frequência e em altas frequências eles decaem a uma taxa de - 20   d B / d e c a d a . As frequências de quebra são 0,1   r a d / s e g , 0,5   r a d / s e g e 1,0   r a d / s e g . Vamos representar esses três polos então:

Passo 3

Agora só precisamos somar as três curvas:

A curva de razão de amplitude começa em 0 , a partir da primeira frequência de quebra ela começa a decair a - 20   d B / d e c a d a , depois da segunda ela passa a decair a - 40   d B / d e c a d a e por fim, quando ultrapassa ω = 1   r a d / s e g que é a última frequência de quebra a inclinação da curva dica - 60   d B / d e c a d a .

Passo 4

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

θ = = - tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 2 ω - tan - 1 ⁡ 10 ω

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O ângulo de fase de um polo é 0 º em baixas frequências e - 90 º em altas frequências. Vamos representar o ângulo de fase para os três polos então:

A transição entre o valor do ângulo de fase em baixa frequência para o ângulo de fase em alta frequência começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois, gerando assim uma reta com inclinação - 45 º / d e c a d a .

Vamos somar as três linhas então:

Entre 10 - 2 r a d / s e g   e 5 * 10 - 2 r a d / s e g só temos os efeitos do decaimento do ângulo de fase de um polo. A partir de 10 - 2 r a d / s e g o segundo polo começa a fazer efeito e a inclinação da curva fica - 90 º / d e c a d a . Em ω = 0,1   r a d / s e g o efeito do primeiro polo para de ser sentido pois ele se torna uma constante, mas nesse ponto começa-se a se sentir o efeito do terceiro polo, e por isso a inclinação da reta permanece inalterada. Em ω = 0,5   r a d / s e g o segundo polo ta,bém se torna uma constante e a inclinação da reta é reduzida pela metade, e em 1   r a d / s e g o terceiro polo também para de ser sentido e a partir daí demos uma reta constante.

Resposta