Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 3 ( s + 3 ) s 2 + 2 s + 9

Passo 1

Nesse caso nós temos um zero de primeira ordem e um polo de segunda ordem, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = s 3 + 1 s 2 9 + 2 s 9 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = i ω 3 + 1 ( i ω ) 2 9 + 2 i ω 9 + 1 = i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9 = + 20 log ⁡ i ω 3 + 1 - 20 log ⁡ 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

E o ângulo de fase:

θ = ∠ i ω 3 + 1 - ∠ 2 ω i 9 + 1 - ω 2 9

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

Para a expressão da razão de amplitude temos dois termos, o primeiro referente ao zero da função de transferência e o segundo referente ao polo.

O termo do zero é um termo comum, de primeira ordem, com frequência de quebra em 3   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha verde:

Passo 3

Já o segundo termo, referente ao polo da função de transferência, é um termo de seguda ordem. A frequência de quebra nesse caso será 9 = 3   r a d / s e g . Ou seja, no mesmo ponto do zero. Como se trata de um polo, a inclinação será negativa e por ser de segunda ordem, a inclinação será - 40   d B / d e c a d a . Vamos representar o polo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora só precisamos somar as duas linhas as linhas. Até o ponto em que ω = 3 r a d / s e g ambas as linhas apresentam razão de amplitude 0 . Nesse ponto, começamos a ter a influência de um zero que contribui com uma reta + 20   d B / d e c a d a e de um polo que contribui com - 40   d B / d e c a d a . Portanto, a partir de 3   r a d / s e g a razão de amplitude total começará a decais a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a .

Passo 5

Vamos passar agora para o ângulo de fase:

θ = ∠ i ω 3 + 1 - ∠ 2 ω i 9 + 1 - ω 2 9

O ângulo de fase referente ao zero, é 0 º em baixas frequências e + 90 º em altas frequências. Já o ângulo referenre ao polo, também é 0 º em baixas frequências porém é - 180 º em altas frequências porque é um polo de segunda ordem. O sinal negativo é devido ao fato de se tratar de um polo e não de um zero. Representando no gráfico com as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude, temos:

A transição entre o ângulo de baixas frequências e o ângulo de altas frequências começa uma década antes da frequência de quebra, que é 3   r a d / s e g para ambas as curvas, e vai até uma década depois da frequência de quebra.

Agora só precisamos somar as duas curvas:

Resposta