Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 10 ( s + 2 ) ( s + 0,1 ) ( s + 20 )

Passo 1

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = 10 s 2 + 1 s 0,1 + 1 s 20 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1 = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ i ω 2 + 1 - 20 log ⁡ i ω 0,1 + 1 - 20 log ⁡ i ω 20 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 10 + ∠ i ω 2 + 1 - ∠ i ω 0,1 + 1 - ∠ i ω 20 + 1 = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos quatro termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será 0 em frequências baixas e uma reta com inclinação + 20   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 2 . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Além do zero, temos ainda dois polos que terão frequências de quebra em 0,1 e 20 . Como são polos, a inclinação deles a partir dessa frequência será negativa. Vamos representar essas retas em azul e amarelo:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

No início só temos a influência da constante, e por isso a linha permanece reta. Quando a frequência atinge 0,1   r a d / s e g a curva começa a sentir o efeito do primeiro polo e cai a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a até 2   r a d / s e g . Nesse ponto, o zero também começa a ser sentido, e dessa forma, o zero e o polo se anulam. Em 20   r a d / s e g os efeitos do segundo polo passam a contar e então, a curva volta a ter inclinação negativa

Passo 5

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

θ = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O zero representado por uma linha vermelha e um polo com uma linha azul e o outro com uma linha amarela:

O ângulo de fase é sempre 0 º em baixas frequências e + 90 º em altas frequências caso seja um zero, e - 90 º em altas frequências caso seja um polo. A transição começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois da frequência de quebra, gerando uma reta com inclinação ± 45 º / d é c a d a .

Vamos somar as três linhas então:

Resposta