Exercícios Resolvidos de Diferenciação Numérica

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Enunciado

Dado a função f x = l n ⁡ ( x ) , calcular a derivação numérica com a fórmula da diferença superior para x = 1,8   e h = 0,1 . Além disso, considere o valor real da derivada obtido no ponto dado e compare com o valor obtido.

Passo 1

A primeira consideração a ser feita é a que essa é uma integral fácil de se calcular:

f x = l n ⁡ ( x )

f ' x = 1 x

Se x = 1,8 :

f ' ( 1,8 ) = 1 1,8 = 0,555554

Passo 2

Agora, conseguimos encontrar a derivada pelo método das diferenças superior, usando a fórmula dada:

D h f x = f x , x + h = f x + h - f ( x ) h

Se x = 1,8 ; h = 0,1 :

D h f x = f x , x + h = f 1,8 + 0,1 - f ( 1,8 ) 0,1

D h f x = f x , x + h = l n ⁡ ( 1,9 ) - l n ( 1,8 ) 0,1 = 0,540672

D h f 1,8 = 0,540672

Passo 3

O valor real da derivada é:     f ' 1,8 =   0,555554

O valor aproximado é:   D h f 1,8 = 0,540672

Podemos comparar com a fórmula do erro absoluto:

E A =     f ' x - D h f x = 0,555554 - 0,540672 = 0,014

Resposta

D h f 1,8 = 0,540672

E A = 0,014