Exercícios Resolvidos de Dispersão Cromática

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Enunciado

Arco-íris produzidos por gotas quadradas.

Suponha que, em um planeta exótico, as gotas de chuva tenham uma seção reta quadrada e caiam sempre com uma face paralela ao solo. A Fig.33-58 mostra uma dessas gostas, na qual incide um feixe de luz branca om um ângulo de incidência θ = 70,0 ° no ponto P .

A parte da luz que penetra na gota se propaga até o ponto A , onde parte é refratada de volta para o ar e a outra parte é refletida.

A luz refletida chega ao ponto B , onde novamente parte da luz é refratada de volta para o ar e parte é refletida.

Qual é a diferença entre os ângulos dos raios de luz vermelha ( n = 1,331 ) e de luz azul ( n = 1,343 ) que deixam a gota:

  1. No ponto A .
  2. No ponto B?

(Essa diferença faz com que um observador externo veja um arco-íris ao observar a luz que sai do ponto A ou do ponto B .)

Passo 1

Letra a)

Primeiro precisamos encontrar o ângulo de incidência da luz no ponto A . Cada cor tem um ângulo de refração no ponto P e logo seus ângulos de incidência são diferentes.

Os ângulos de refração do azul e do vermelho serão:

n a r sen ⁡ θ = n g o t a ,   a z u l   sen ⁡ θ r ,   a z u l

n a r sen ⁡ θ = n g o t a ,   v e r m e l h o   sen ⁡ θ r ,   v e r m e l h o

Os valores serão:

  • n g o t a ,   a z u l = 1,343
  • n g o t a ,   v e r m e l h o = 1,331
  • n a r ≅ 1
  • θ = 70,0 °

sen ⁡ 70 ° = 1,343 ∙   sen ⁡ θ r ,   a z u l

  sen ⁡ θ r ,   a z u l = sen ⁡ 70 ° 1,343 ≅ 0,700

θ r ,   a z u l ≅ sen - 1 ⁡ 0,7 ≅ 44,4 °

sen ⁡ 70 ° = 1,331 ∙   sen ⁡ θ r ,   v e r m e l h o

sen ⁡ θ r ,   v e r m e l h o = sen ⁡ 70 ° 1,3 31 ≅ 0,70 6

θ r ,   v e r m e l h o ≅ sen - 1 ⁡ 0,7 06 ≅ 44 , 91 °

Passo 2

Com o ângulo de refração de cada cor, queremos agora os ângulos de incidência no ponto A .

Esse ângulo vai ser 90 ° - θ r .

O ângulo de refração da luz que deixa a gota no ponto A vai ser dado pela Lei de Snell novamente. Nesse caso:

n g o t a sen ⁡ 90 ° - θ r = n a r sen ⁡ θ s a í d a

Como n a r ≅ 1   e sen ⁡ 90 ° - θ r = cos ⁡ θ r :

n g o t a cos ⁡ θ r = sen ⁡ θ s a í d a

Vamos fazer para cada cor:

n g o t a ,   a z u l cos ⁡ θ r ,   a z u l = sen ⁡ θ s a í d a ,   a z u l

sen ⁡ θ s a í d a ,   a z u l ≅ 1,343 ∙ cos ⁡ 44,4 ° ≅ 0,960

θ s a í d a ,   a z u l ≅ sen - 1 ⁡ 0,960 ≅ 73,65 °

n g o t a ,   v e r m e l h o cos ⁡ θ r ,   v e r m e l h o = sen ⁡ θ s a í d a ,   v e r m e l h o

sen ⁡ θ s a í d a ,   v e r m e l h o ≅ 1,3 3 1 ∙ cos ⁡ 44 , 91 ° ≅ 0,943

θ s a í d a ,   v e r m e l h o ≅ sen - 1 ⁡ 0,9 43 ≅ 7 0 , 5 0 °

A dispersão angular na saída do ponto A vai ser:

θ s a í d a ,   a z u l - θ s a í d a ,   v e r m e l h o ≅ 73,65 ° - 70,50 ° = 3,15 °

Passo 3

Letra b)

O ângulo de reflexão no ponto A é igual ao ângulo de incidência, 90 ° - θ r .

Porém, ao incidir no ponto B , o ângulo de incidência será θ r .

E nesse caso a lei de Snell ficará:

n g o t a sen ⁡ θ r = n a r sen ⁡ θ s a í d a

Mas calma lá. Vimos antes que:

n a r sen ⁡ θ = n g o t a   sen ⁡ θ r

Juntando as duas equações:

n a r sen ⁡ θ = n a r sen ⁡ θ s a í d a

θ = θ s a í d a

O que vale para todas as cores. Isso significa que as cores saem paralelas umas às outras no ponto B e a dispersão é zero.

Resposta

Letra a)

Δ θ ≅ 3,15 °

Letra b)

Δ θ = 0 °

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