Exercícios Resolvidos de Dispersão Cromática

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Enunciado

Um feixe de luz de dois comprimentos de onda diferentes entra em uma lâmina de vidro de 3,00   m m de espessura com um ângulo de incidência de 56 ° . Os índices de refração para as duas cores diferentes são 1,514 e 1,528 . Devido à dispersão, os feixes coloridos, embora paralelos, são separados por uma pequena distância. Quanto vale essa distância?

( A )   0,057   m m    

B   0,030   m m    

( C )   0,044   m m    

( D )   0,014   m m    

( E )   0,0062   m m ​                

Passo 1

Essa é uma questão de dispersão cromática: o índice de refração varia com o comprimento de onda e, por isso, as cores se separam! Vamos fazer um desenho da situação:

Queremos achar a distância entre as duas setas que estão saindo paralelas entre si! Essa distância vai ser d , representado na figura abaixo:

Vamos dar um passo de cada vez, com calma, para encontrar esta distância.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar Δ x . Para isso, vamos achar a distância da linha tracejada até a primeira seta. Para isso, usando a tangente do ângulo, temos:

tan ⁡ θ 1 = x 1 h

x 1 = h tan ⁡ θ 1

Precisamos então achar θ 1 . Pela lei de Snell-Descartes:

n a r sen ⁡ 56 ° = n 1 sen ⁡ θ 1

Como n a r ≈ 1 então:

sen ⁡ θ 1 ≈ sen ⁡ 56 ° n 1

Pela nossa figura, θ 1 é menor que θ 2 . Isso implica em dizer que n 1 é maior que n 2 , pois quanto maior o índice de refração, menor o ângulo realizado com a normal. Por isso, iremos dizer que:

n 1 = 1,528 e n 2 = 1,514

Substituindo:

sen ⁡ θ 1 ≈ 0,829 1,528 ≈ 0,543

θ 1 ≈ 32,86 ° →   tan ⁡ θ 1 ≈ 0,646

x 1 ≈ 1,938   m m

Agora vamos fazer o mesmo raciocínio para a segunda seta, mais à direita.

x 2 = h tan ⁡ θ 2

Pela lei de Snell-Descartes:

n a r sen ⁡ 56 ° = n 2 sen ⁡ θ 2

sen ⁡ θ 2 ≈ sen ⁡ 56 ° n 2

Substituindo:

sen ⁡ θ 2 ≈ 0,829 1,5 14 ≈ 0,548

θ 2 ≈ 3 3 , 20 ° →   tan ⁡ θ 2 ≈ 0,6 54

x 2 ≈ 1,9 6 3   m m

A distância entre os dois raios fica:

Δ x = x 2 - x 1 ≈ 1,963 - 1,938 = 0,02 5   m m

Passo 3

Por fim, temos que passar de Δ x para d . Para isso, vamos lembrar que, quando os raios luminosos saem do vidro, eles saem paralelos ao raio que entra no vidro. Isso significa que o ângulo entre eles e a normal à superfície é 56 ° .

O que significa que os seus ângulos são:

Por esse triângulo, podemos relacionar d e Δ x pelo cosseno de 56 ° .

cos ⁡ 56 ° = d Δ x

d = Δ x cos ⁡ 56 ° ≈ 0,025 ∙ 0,56 ≈ 0,014   m m

A alternativa correta é a ( D ) .

Resposta

Alternativa D

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