Tensões Trifásicas

Resumo Completo

Os circuitos trifásicos são os mais utilizados na transmissão e distribuição de energia, por isso você vê nos postes das ruas aqueles três fios passando. Além disso, uma de suas vantagens é a potência, já que a potência instantânea desses circuitos será constante e isso permite que sejam muito utilizados em potências elevadas.

Gerando as tensões trifásicas

Normalmente as tensões trifásicas são produzidas por um gerador CA. Dando um corte nele, temos a vista abaixo:

Ele é constituído, basicamente, por um ímã rotativo (denominado rotor) envolto por um enrolamento fixo (denominado estator) e três bobinas ou enrolamentos com terminais   a - a ´ , b - b ´ e c - c ´ dispostos e separados fisicamente a 120º em torno do estator.

Aí, por exemplo, numa usina hidrelétrica o rotor começa a girar devido à força das águas. Enquanto ele gira, seu campo magnético “corta” o fluxo das três bobinas e induz tensão nelas.

Como elas se encontram separadas a 120°, as tensões induzidas nas bobinas são iguais em amplitude, porém estão defasadas em 120°.

Geralmente, um sistema trifásico é formado por três fontes de tensão conectados a cargas. As fontes de tensão podem ser conectadas em estrela ou em triângulo.

Tensões de fase equilibradas

Vamos considerar que as fontes estão ligadas em estrela. Chamamos de tensão de fase a tensão no braço da ligação, ou seja, a tensão entre uma das fases e o neutro. Logo, V a n ,   V b n e V c n são as tensões de fase.

Dizemos que essas tensões estão equilibradas quando elas são iguais em módulo e estão defasadas de 120° uma das outras. Por exemplo:

V a n = V 0 °

V b n = V - 120 °

V c n = V - 240 ° = V + 120 °

Como podemos ver, todas elas possuem o mesmo módulo V e estão defasadas uma das outras de 120°. Daqui para frente vamos considerar que se não for mencionado se o fasor está em RMS ou com o valor de sua amplitude, consideraremos que ele já está no seu valor RMS, porque é o que acontece na prática.

Sequência de fases

A sequência de fases é definida pelo sentido de rotação do gerador e podemos ter duas situações possíveis:

Para você nunca mais esquecer, vou te dar um bizu. A sequência de fase é determinada pela ordem com que os fasores passam por um determinado ponto no diagrama de fase.

Então, você sempre escolhe como como referência o eixo horizontal e vê qual a sequência das fases que passa por ele quando elas giram no sentido da frequência ω .

Portanto, escolhendo V a n como referência, ou seja, colocando ele sobre o eixo horizontal e fazendo com que seu ângulo seja zero, temos:

Para sequência a b c :

V a n = V 0 °

V b n = V - 120 °

V c n = V - 240 ° = V + 120 °

Para sequência a c b :

V a n = V 0 °

V c n = V - 120 °

V b n = V - 240 ° = V + 120 °

Carga equilibrada

Assim como as fontes de tensão em um sistema trifásicos são conectados em triângulo ou estrela, a carga também é conectada da mesma forma:

Carga conectada em triângulo:

Carga conectada em estrela:

Uma carga é considerada equilibrada quando as impedâncias de cada fase são iguais em módulo e ângulo. Logo, para uma carga em estrela:

Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z Y

Já para uma carga conectada em triângulo:

Z a = Z b = Z c = Z

Lembrando que podemos transformar uma carga conectada em estrela em uma conectada em triângulo, ou vice-versa, através da relação:

Z = 3 Z Y

Tensões e correntes nas ligações Y e

Em circuitos trifásicos temos dois tipos de tensão: a de linha V L e a de fase V f . Da mesma forma para a corrente: temos a corrente de linha ( I L ) e a corrente de fase I f .

A tensão de linha refere-se à tensão entre terminais da ligação, enquanto a tensão de fase refere-se à tensão nos “braços” da ligação.

Já a corrente de linha é a corrente que passa pelos terminais da ligação e a corrente de fase é a corrente que passa no braço da ligação.

Ficou confuso? Se liga no esquema abaixo que você vai ficar tranquilo:

Agora vamos analisar as relações dessas tensões e correntes em cada ligação. Começaremos pela ligação em estrela.

Analisando o circuito em Y , temos:

  • As correntes de linha são iguais às correntes de fase:
  • I A = I a                                               I B = I b                                         I C = I c  

  • As tensões de linha são diferentes das tensões de fase:
  • V A B = V a - V b                                   V B C = V b - V c                                 V C A = V c - V a

    Vamos supor que a sequência seja a b c , ou seja:

    V a = V f 0 °

    V b = V f - 120 °

    V c = V f + 120 °

    Logo,

    V A B = V a - V b

    V A B = V f 0 ° - V f - 120 °

    Passando para forma retangular:

    V A B = V f - V f - 1 2 - j 3 2

    V A B = V f 1 + 1 2 + j 3 2

    V A B = V f 3 2 + j 3 2

    Voltando para forma polar:

    V A B = 3 V f + 30 °

    Repetindo o que fizemos para as outras tensões, temos:

    V B C = V b - V c = 3 V f - 90 °

    V C A = V c - V a = 3 V f + 150 °

    Vou fazer uma tabela para a gente comparar essas tensões de linha e fase (considerando sequência a b c ):

    Analisando essa tabela, vemos que as tensões de linha têm módulo 3 vezes o módulo das tensões de fase, ou seja:

    V L = 3 V f

    Além disso, as tensões de linha estão adiantadas de 30 ° em relação às tensões de fase correspondentes.

    Por exemplo: se temos uma tensão de fase V a = 127 45 °   V e a sequência de fase é a b c , para encontrarmos a tensão de linha V A B basta multiplicarmos por 3 o módulo e somarmos 30 ° ao ângulo.

    V A B = 3 127 ( 45 ° + 30 ° )

    V A B = 220 75 °   V

    Partiu fazer a mesma análise para a ligação em triângulo!

    Analisando o circuito em , temos:

  • As tensões de linha são iguais às tensões de fase:
  • V a = V A B                                               V b = V B C                                       V c = V C A  

  • As correntes de linha são diferentes das correntes de fase:

I A = I a - I c                                   I B = I b - I a                                 I C = I c - I b

Vamos supor que a sequência seja a b c e que nossas correntes de fase sejam:

I a = I f 0 °

I b = I f - 120 °

I c = I f + 120 °

Logo,

I A = I a - I c

I A = I f 0 ° - I f + 120 °

Passando para forma retangular:

I A = I f - I f - 1 2 + j 3 2

I A = I f 1 + 1 2 - j 3 2

I A = I f 3 2 - j 3 2

Voltando para forma polar:

I A = 3 I f - 30 °

Repetindo o que fizemos para as outras tensões, temos:

I B = I b - I a = 3 I f - 150 °

I C = I c - I b = 3 I f ��� + 90 °

Vou fazer aquela tabela esperta para a gente comparar essas correntes de linha e fase (considerando sequência a b c ):

Analisando essa tabela, vemos que as correntes de linha têm módulo 3 vezes o módulo das correntes de fase, ou seja:

I L = 3 I f

Além disso, as correntes de linha estão atrasadas de 30 ° em relação às correntes de fase correspondentes.

Agora é exercitar para fixar a matéria!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.1

Se V a b = 400   V em um gerador trifásico conectado em estrela equilibrado, determine as tensões de fase supondo que a sequência de fases seja:

  1. a b c
  2. a c b
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A conexão estrela de um circuito trifásico é representada abaixo:

O enunciado fornece o valor da tensão de linha a - b e diz que o circuito é equilibrado. Logo, o módulo das tensões de linha V b c e V c a serão iguais ao módulo da tensão de linha que foi fornecida, V a b . Então:

V b c = 400   V

V c a = 400   V

Passo 2

Agora precisamos analisar para descobrir os ângulos das tensões de linha. Considerando que V a b esteja na referência e adotando sequência a b c como foi pedido na letra a):

V a b = 400 0 °   V

V b c = 400 - 120 °   V

V c a = 400 + 120 °   V

Passo 3

Beleza! Estamos quase lá! Já temos módulo e ângulo de todas as tensões de linha. Só que o enunciado pede as tensões de fase. E agora?

Agora temos que lembrar da relação entre as tensões de linha e de fase em um circuito trifásico ligado em estrela:

V L = 3   V f

Primeiro, vamos calcular o módulo de cada tensão de fase do circuito em estrela:

V a n = V a b 3 = 400 3 = 230,94   V

V b n = V b c 3 = 400 3 = 230,94   V

V c n = V c a 3 = 400 3 = 230,94   V

Passo 4

Agora precisamos analisar os ângulos de cada tensão de fase. Está lembrado o que modifica no ângulo quando passamos da tensão de linha para a tensão de fase na sequência a b c ? Então... A gente tem que subtrair 30 ° em cada ângulo de fase:

V a n = 230,94 0 ° - 30 °   V     V a n = 230,94 - 30 °   V  

V b n = 230,94 - 120 ° - 30 °   V     V b n = 230,94 - 150 °   V

V c n = 230,94 + 120 ° - 30 °   V     V c n = 230,94 90 °   V

Prontinho!

Passo 5

Para a letra b), o que muda é que a sequência é a c b e isso vai influenciar no ângulo das tensões. Então:

V a b = 400 0 °   V

V b c = 400 + 120 °   V

V c a = 400 - 120 °   V

Passo 6

Da mesma forma, precisaremos calcular as tensões de fase. O módulo de cada uma delas será igual:

V a n = V a b 3 = 400 3 = 230,94   V

V b n = V b c 3 = 400 3 = 230,94   V

V c n = V c a 3 = 400 3 = 230,94   V

Passo 7

Por último, temos que analisar o ângulo das tensões de fase. Temos que tomar cuidado porque ao invés de subtrair 30 °   , teremos que somar, como veremos abaixo.

Supondo que as tensões de fase sejam:

V a = V f 0 °

V b = V f + 120 °

V c = V f - 120 °

Como:

V a b = V a - V b

  V a b = V f 0 ° - V f + 120 °  

V a b = V f 1 - - 1 2 + j 3 2  

V a b = V f 3 2 - j 3 2

Passando para a forma polar, teremos que:

V a b = 3 V f - 30 °   V

Ou seja: para a sequência a c b , a relação entre tensão de linha e tensão de fase será:

V L = 3 V f - 30 °   V

Logo, para o nosso exercício:

V a n = V a b 3 + 30 °

V a n = 400 3 0 ° + 30 °

V a n = 230,94 + 30 °     V

Para b - c :

V b n = V b c 3 + 30 °

V b n = 400 3 120 ° + 30 °

V b n = 230,94 + 15 0 °     V

Para c - a :

V c n = V b c 3 + 30 °

V c n = 400 3 - 120 ° + 30 °

V c n = 230,94 - 9 0 °     V

Resposta

a )   V a n = 230,94 - 30 °   V  

            V b n = 230,94 - 150 °   V

  V c n = 230,94 90 °   V

b )   V a n = 230,94 + 30 °   V  

V b n = 230,94 + 150 °   V

                  V c n = 230,94 - 90 °   V

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.2

Qual a sequência de fases de um circuito trifásico equilibrado para o qual V a n = 120 30 °   V e V c n = 120 - 90 °   V ? Determine V b n .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado diz que o circuito é trifásico equilibrado. Então, a gente precisa lembrar de duas coisas:

  1. O módulo das tensões é igual
  2. As tensões estão defasadas entre si de 120°

Isso significa que já sabemos o módulo de V b n , que será:

V b n = 120   V

Passo 2

Agora precisamos encontrar o ângulo de V b n . Vamos analisar o que temos até agora:

A tensão de fase V a n está a 30° positivos do eixo de referência.

A tensão de fase V c n a 90° negativos do eixo de referência.

O ângulo de defasagem entre as tensões de fase V a n e V c n é de 120°.

Com essas informações montei um diagrama esperto para ficar mais fácil de entender!

Com esse diagrama já dá para ver de quanto será o ângulo de V b n , que será de +150°. Logo:

V b n = 120 + 150 °   V

Passo 3

Para finalizar, precisamos determinar qual a sequência de fase. Na teoria, vimos esse diagrama:

Logo, no nosso exercício, como é a fase c que está a - 120 ° da fase a , a sequência de fase é negativa ou sequência a c b .

Resposta

V b n = 120 + 150 °   V

Sequência a c b

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.3

Determine a sequência de fases de um circuito trifásico equilibrado no qual V b n = 4 4 0 130 °   V e V c n = 440 10 °   V . Obtenha V a n .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado diz que o circuito é trifásico equilibrado. Logo, o módulo das tensões será igual e, portanto, já temos o módulo de V a n :

V a n = 440   V

Passo 2

O próximo passo é determinar o ângulo da fase a . Para ficar fácil de visualizar, fiz esse diagrama esperto com os dados que foram fornecidos no enunciado.

Lembrando que em um circuito trifásico equilibrado as tensões estão defasadas entre si de 120 ° .

Logo, a tensão V a n está a - 110 ° da referência, então:

V a n = 440 - 110 °   V

Passo 3

Por último, precisamos determinar qual a sequência de fase. No diagrama do passo 2 dá para ver que quem está a - 120 ° da fase a é a tensão V b n . Logo, a sequência de fase é a b c .

Da teoria tem o esquema abaixo se quiser relembrar:

Resposta

V a n = 440 - 110 °   V

Sequência de fase a b c

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.4

Um sistema trifásico com sequência a b c e V L = 440   V alimenta uma carga conectada em estrela com Z L = 40 30 ° . Determine as correntes de linha.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado diz que a carga está conectada em estrela. Logo, temos a seguinte relação:

I f = I L

V L = 3 × V f

Como o enunciado fornece apenas o módulo da tensão de linha e diz que a sequência é a b c , temos que escolher uma tensão para estar na referência, para, em seguida, calcular a tensão de fase.

Escolhendo a tensão da fase a para estar na referência e lembrando que a sequência é a b c , teremos:

V a n = V L 3 0 °     V a n = 440 3 0 °       V a n = 254,03 0 °   V    

V b n = V L 3 - 12 0 °     V b n = 440 3 - 12 0 °       V b n = 254,03 - 12 0 °   V  

V c n = V L 3 + 120 °     V c n = 440 3 + 120 °       V c n = 254,03 + 120 °   V

Passo 2

O próximo passo é calcular as correntes. De acordo com a Lei de Ohm:

Para a fase a :

I A = V a n Z L  

  I A = 254,03 0 ° 40 30 °  

  I A = 6,35 - 30 °   A

Para a fase b :

I B = V b n Z L  

I B = 254,03 - 120 ° 40 30 °  

  I B = 6,35 - 150 °   A

Para a fase c :

I C = V c n Z L  

  I C = 254,03 + 120 ° 40 30 °  

I C = 6,35 + 90 °   A

Resposta

I A = 6,35 - 30 °   A

I B = 6,35 - 150 °   A

I C = 6,35 + 90 °   A

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.5

Para uma carga conectada em estrela, as expressões no domínio do tempo para três tensões linha-neutro nos terminais são:

v A N = 120 cos ω t + 32 °   V

v B N = 120 cos ω t - 88 ° V

v C N = 120 cos ω t + 152 ° V

Escreva as expressões no domínio do tempo para as tensões linha-linha v A B , v B C e v C A .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como o enunciado pede a tensão de linha do circuito, primeiro temos que passar as tensões de fase fornecidas para o domínio da frequência:

V A N = 120 32 °   V

V B N = 120 - 88 °   V

V A N = 120 + 152 °   V

Passo 2

Agora, vamos lembrar a relação de módulo e ângulo das tensões de linha e fase para uma carga conectada em estrela:

V L =   3 × V f + 30 °

Logo, as tensões de linha no domínio da frequência serão:

V A B = 3 × V A N + 30 °

V A B = 3 × 120 32 ° + 30 °

V A B = 207,85 62 °   V

V B C = 3 × V B N + 30 °

V B C = 3 × 120 - 88 ° + 30 °

V B C = 207,85 - 58 °   V

V C A = 3 × V C N + 30 °

V C A = 3 × 120 + 15 2 ° + 30 °

V C A = 207,85 + 182 °   V

Passo 3

Como o exercício pede as tensões de linha no domínio do tempo, teremos que passar cada uma delas:

v A B = 207,85 cos ω t + 6 2 °   V

v B C = 207,85 cos ω t - 5 8 ° V

v C A = 207,85 cos ω t + 18 2 ° V

Resposta

v A B = 207,85 cos ω t + 62 °   V

v B C = 207,85 cos ω t - 58 ° V

v C A = 207,85 cos ω t + 182 ° V

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Livro Sadiku, p.484, Problema 17.

Uma carga conectada em triângulo equilibrada tem corrente de linha I a = 5 - 25 °   A . Determine as correntes de fase I A B , I B C e I C A .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como a carga é um triângulo (ou delta) equilibrado, o módulo das correntes de linha será o mesmo para cada uma. Considerando sequência a b c , teremos as seguintes correntes de linha:

I a = 5 - 25 °   A

I b = 5 - 14 5 °   A

I c = 5 + 9 5 °   A

Passo 2

Lembrando a relação entre corrente de linha e de fase para uma carga conectada em triângulo:

I l = 3 × I F - 30 °

Logo, calculando as tensões de fase:

I A B = I a 3 + 30 °

I A B = 5   3 - 25 ° + 30 °

I A B = 2,887 + 5 °   A

I B C = I b 3 + 30 °

I B C = 5   3 - 14 5 ° + 30 °

I B C = 2,887 - 11 5 °   A

I C A = I c 3 + 30 °

I C A = 5   3 + 9 5 ° + 30 °

I C A = 2,887 + 12 5 °   A

Resposta

I A B = 2,887 + 5 °   A

I B C = 2,887 - 115 °   A

I C A = 2,887 + 125 °   A

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Livro Sadiku, p.485, Problema 12.16

Uma carga conectada em triângulo equilibrada possui uma corrente de fase I A C = 5 - 30 °   A .

  1. Determine as três correntes de linha supondo que o circuito opera na sequência de fases positiva.
  2. Calcule a impedância de carga se a tensão e linha for V A B = 110 0 °   V .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro vamos desenhar o esquema do circuito:

Além disso, pelo enunciado

I A C = 5 - 30 °   A

Logo,

I C A = - 5 - 30 °   A

Para tirar o sinal negativo do módulo, temos que somar 180 ° ao ângulo.

I C A = 5 ( - 30 ° + 180 ° )

I C A = 5 150 °   A

Passo 2

O enunciado nos disse que a sequência de fase é positiva ( a b c ) . Logo, como o circuito é equilibrado, as correntes estão defasas de 120 ° e serão:

I A B = I C A - 120 °   A

I A B = 5 150 ° - 120 °  

I A B = 5 30 °   A

I B C = I A B - 120

I B C = 5 30 ° - 120 °

I B C = 5 - 90 °   A

Passo 3

Agora que a gente tem as correntes de fase vamos encontrar as correntes de linha que são pedidas na letra ( a ) . Para isso, precisamos lembrar que as correntes de linha têm módulo 3 vezes o módulo das correntes de fase, ou seja:

I L = 3 I f

Além disso, as correntes de linha estão atrasadas de 30 ° em relação às correntes de fase correspondentes. Logo,

I A = 3 I A B - 30 °

I A = ( 5 30 ° ) ( 3 - 30 ° )

I A = 8,66 0 °   A

Agora é só defasar de 120 ° para encontrar as outras correntes de linha:

I B = 8,66 - 120 °   A

I C = 8,66 + 120 °   A

Passo 4

Sabendo que V A B = 110 0 ° , basta aplicarmos a lei de Ohm:

V A B = Z I A B

Logo,

Z = 110 0 ° 5 30 °

Z = 22 - 30 °  

Resposta

a   I A = 8,66 0 °   A ;   I B = 8,66 - 120 °   A ; I C = 8,66 + 120 °   A

b   Z = 22 - 30 °  

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