Leis de Ohm

Resumo Completo

Fala pessoal, sejam bem vindos. Vamos começar a estudar uma das matérias que muitas pessoas arrepiam só de ouvir sobre. Mas relaxa aí! Estamos aqui para te ajudar a passar bem nas provas. Vamos lá?

Relação de proporcionalidade entre tensão e corrente

Vocês sabiam que existe uma relação entre uma tensão aplicada em um resistor e a corrente gerada nele? Não?

Pois bem, existe sim. E eles geralmente estão associados a uma constante que depende do material em que passa a corrente. Essa constante é chamada de resistência e representamos, por R .

Na realidade, o que acontece é mais ou menos isso:

A resistência R , que possui unidade Ω   ( O h m ) é responsável por resistir à passagem da corrente e a tensão é quem força essa passagem.

Em outras palavras, o Ohm citou:

“A primeira lei de Ohm afirma que uma corrente elétrica é gerada a partir de uma diferença de potencial (ddp) que está aplicada sobre o corpo, e esta corrente é proporcional a essa ddp.

Escrevendo isso aí em uma equação, vamos ter que:

U = R . i

Onde U é a diferença de potencial aplicada nos terminais da resistência, i é a corrente que foi gerada e R é a proporção entre a corrente e a tensão, ou seja, a resistência que o corpo oferece à passagem de corrente.

E é isso que chamamos de 1ª Lei de Ohm.

2° Lei de Ohm

Show de bola e tal, mas fala aí: Essa resistência   R pode mudar de alguma forma?

Siiim! Pode sim!

Todo material que é condutor ou não de eletricidade possui uma resistência, seja ela pequena ou muito grande. Essa resistência pode ser modificada aumentando o comprimento da resistência e/ou sua área de seção transversal. Dá uma olhada na imagem abaixo:

Variando então o comprimento l e/ou a área de seção transversal A alteramos o valor da resistência R. Porém essas duas características não são as únicas que são possíveis alterar. Precisamos saber que cada material possui uma característica químico-fisica chamada resistividade. Você pode estar se perguntando o que é isso. Pois bem, essa constante varia de material para material.

A fórmulitxa para essa 2ª lei de Ohm é:

R =   ρ l A

Portanto, a resistência de um material depende não só do material que ele é feito, mas sim de seu comprimento e sua área de seção transversal. Desta forma, se eu tiver um fio muuuuuuuito grande, o R vai ser muito grande também. Mas se eu tiver um A muito grande, o R vai ser pequeno. O mesmo vale para U = R . i , se o R for grande, o i vai ser pequeno.

Mais para baixo, vocês vão ver uma tabelinha com os valores da resistividade ρ de alguns materiais.

#PartiuExercitar?

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Qual resistência de um resistor que conduz uma corrente de 10 A quando posto em uma d d p de 120 V ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui só precisamos usar a expressão da 1ª Lei de Ohm, se liga:

U = R I

Substituindo os valores do enunciado:

120 = R   .   10

E portanto:

R = 12   Ω

Portanto, a resposta certa é a letra (c)

Resposta

R = 12 Ω

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ, PF 2014.2, ME 8

Uma barra de cobre cilíndrica, de resistência elétrica R , comprimento L e seção reta A , é comprimida para a metade do seu comprimento original, sem que seu volume se altere.

Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência elétrica é:

a 4 R

b 2 R

c R / 2

d R / 4

e R

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A resistência R , por definição é dada por:

R = ρ L A

Precisamos primeiro encontrar as relações para L ' e A ' . Mas como, ao ser comprimida, o seu volume não se altera, podemos dizer que:

V = L A = L ' A '

Onde L ' = L / 2 , logo:

L A = L A ' 2 A ' = 2 A

Portanto, a nova resistência será dada por:

R ' = ρ L ' A ' = ρ L 2 2 A

R ' = ρ L 4 A R ' = R 4

A opção certa é a letra d .

Resposta

d R / 4

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-15

Um fio de Nichrome (uma liga de níquel, cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento) tem 1,0   m de comprimento e 1,0   m m 2 de seção reta e conduz uma corrente de 4,0   A quando uma diferença de potencial de 2,0   V é aplicada a suas extremidades.

Calcule a condutividade σ do Nichrome.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ok, pra calcular a condutividade, precisamos começar calculando a resistividade.

Pra começar, vamos usar a corrente e a diferença de potencial que o problema forneceu pra calcularmos a resistência e, a partir disso, calculamos a resistividade, beleza?

A resistência é dada por:

R = V i

Onde:

V = 2,0   V

i = 4,0   A

Logo:

R = 2 4

R = 0,5   Ω

Passo 2

A resistência está associada com resistividade através da equação:

R = ρ L A

Assim, a resistividade será:

ρ = R . A L

Onde:

A = 1,0   m m 2 = 10 - 6   m 2

L = 1,0   m

Logo:

ρ = 0,5 × 10 - 6 1

ρ = 5,0 × 10 - 7   Ω . m

Passo 3

Finalmente, a condutividade será:

σ = 1 ρ

σ = 1 5,0 × 10 - 7

σ = 2,0 × 10 6   Ω . m - 1

Resposta

σ = 2,0 × 10 6   Ω . m - 1

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Fundamentos de Circuitos Elétricos – 5ª Edição – Charles K. Alexander – Problema 2.64(ajustado)

O potenciômetro (resistor ajustável) R x na Figura abaixo deve ser projetado para ajustar a corrente i x de 1   A a 10   A . Calcule os valores de R x para que isso aconteça.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos aqui uma tensão de 110   V aplicada à uma resistência variável, portanto, aplicando a 1ª lei de Ohm, temos:

U = R I

110 = R x I

I = 11 0 R x

Passo 2

Agora queremos que a corrente varie entre 1   A e 10   A , para isso:

1 < I < 10

Substituindo a expressão encontrada:

1 < 11 0 R x < 10

Logo:

11 < R x < 11 0

Resposta

11 < R x < 110

Exercício Resolvido #5

Enunciado

USP, P2 2010, Questão 2

Um resistor com resistividade ρ , tem a forma de um cilindro oco de comprimento L e raios a e b . Calcule a resistência R e o módulo do vetor densidade de corrente J no interior do resistor nos casos em que uma diferença de potencial V é aplicada:

a ) entre as bases do cilindro.

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) entre as bases do cilindro.

Por definição, a resistência de um resistor é dada por:

R = ρ L A

Nesse caro, A será a área da coroa circular de raios a e b .

A = π b 2 - a 2

Portanto:

R = ρ L π b 2 - a 2

Passo 2

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Usando a definição de resistência, podemos dizer que:

J = V / R A J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Passo 3

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

A ideia aqui é bem parecida com o que fizemos antes, a diferença é que, como a corrente agora flui radialmente, vamos ter que mudar a forma de calcular a resistência.

Vamos começar dividindo o cilindro em camadas cilíndricas de largura d r . Cada cilindro terá resistência d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A r agora será a área lateral do cilindro.

A r = 2 π r L

Logo:

d R = ρ   d r 2 π r L

Pra encontrar uma expressão pra R , precisamos integrar esse cara, onde a < r < b :

R = ρ 2 π L   a b d r r

R = ρ 2 π L ln b a

Passo 4

Pra calcular a densidade de corrente, vamos usar a mesma ideia que usamos anteriormente:

J = I A

J = V / R A J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Resposta

a )

R = ρ L π b 2 - a 2

J = V ρ L

b )

R = ρ 2 π L ln b a

J = V ρ L

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UERJ- Lista de Exercícios sobre Correntes Elétricas.

A figura é o gráfico corrente versus diferença de potencial para um material. Qual é a resistência do material?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para qualquer material condutor, temos que a cada ponto V = R . I , para um condutor ôhmico, temos que a resistência é constante, e no caso de um gráfico V por I é inclinação da reta. No gráfico mostrado, que é I por V , temos que a resistência será:

R = Δ V Δ I

R = 100 2 = 50 1 = 50   Ω

Resposta

R = 50   Ω

Exercício Resolvido #7

Enunciado

USP, P2 2015, Questão 1

Considere uma camada esférica condutora de raio interno a e raio externo b , conforme a figura.

A resistividade da camada cresce linearmente com a distância r ao centro O , sendo dada por

ρ r = α r ,

Onde α é uma constante positiva.

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

Vambora!

O α aparece na fórmula da resistividade dada pelo problema, certo?

ρ r = α r

A única coisa que temos que fazer é analisar as dimensões que sabemos aqui.

ρ r = Ω m

r = m

Logo:

ρ r = α r

Ω m = α m

α = Ω

Logo, a dimensão de α é Ohm.

Passo 2

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

Como essa geometria é diferente da qual estamos acostumados, vamos começar pensando em uma camada infinitesimal, de resistência d R , espessura d r e área 4 π r 2 . Pela definição de resistência:

d R = ρ d r 4 π r 2

Agora ficou mais tranquilo... só temos que integrar esse cara nos limites a < r < b .

R = a b ρ d r 4 π r 2

O problema já nos disse que ρ r = α r , logo, substituindo na expressão acima:

R = a b α r d r 4 π r 2

R = α 4 π a b d r r

R = α 4 π ln b a

Passo 3

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Opa! Pra calcular a corrente ficou tranquilo, porque já temos a resistência e o problema falou da diferença de potencial V .

Então é só usar a fórmula da definição de resistência e ser feliz.

I = V R = V α 4 π ln b a

I = 4 π V α ln b a

Passo 4

Se o potencial maior é o da superfície interna, isso quer dizer que a corrente flui da superfície interna para a superfície externa... isso que dizer que o vetor densidade de corrente J r vai estar na direção radial, de dentro para fora.

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Como aqui a área vai depender do raio A = 4 π r 2 , basta substituir isso na fórmula acima.

Logo:

J r = I 4 π r 2   r ^

Pra finalizar, basta substituir aqui a expressão que encontramos para a corrente ali em cima.

J r = 1 4 π r 2   4 π V α ln b a   r ^

Simplificando:

J r = V α ln b a r 2   r ^

Resposta

a )

A dimensão de α é Ohm Ω .

b )

R = α 4 π ln b a

c )

I = 4 π V α ln b a

J r = V α ln b a r 2   r ^

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Autoria própria

Um ferro elétrico puxa da rede uma corrente igual à 20   A em uma linha com 110   V de tensão. Qual a condutância desse ferro elétrico?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos da 1ª Lei de Ohm que:

U = R I

Do enunciado, temos:

U = 110   V

E:

I = 20   A

Portanto, temos:

R = 110 20 = 5,5   Ω

É a resistência que queremos? Não né?

Passo 2

Para acharmos a condutância é fácil, basta inverter o valor da resistência!

G = 1 R 0,18   S

Resposta

0,18   S

Exercício Resolvido #9

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 162-35

Na figura abaixo uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω . m , raio menor a = 2,00 m m , raio maior b = 2,30 m m e comprimento L = 1,94 c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Então, pessoal! Temos mais um resistor, dessa vez em forma de tronco de cone.

Os dados foram:

ρ = 731 Ω . m

a = 2,00 m m

b = 2,30 m m

L = 1,94 c m

Só com isso a gente consegue calcular? Acho que sim, né? Vamos lá!

Passo 2

A gente já sabe que R = ρ L A .

Como a corrente ta fluindo entre as bases, deveremos usar:

d R = ρ d x A x

Mas e essa área em função de x aí como a gente calcula?

Cara, como o condutor diminui de raio linearmente fica até fácil de calcular, e com uma função bem tranquila, de 1° grau mesmo.

r = c x + d

É só achar essas constantes. Como a gente faz isso? Substituindo valores que a gente já sabe, as extremidades.

Considerando a origem, ou seja, x = 0 no ponto em que a seção tem raio a , teremos:

a = c . 0 + d

d = a

Quando x = L , teremos:

b = c . L + a

c = b - a L

Logo

r x = b - a L x + a

Passo 3

Como A x = π r x ² , teremos que:

A x = π . b - a L x + a ²

Agora usando a nossa integral linda lá, teremos:

R = ρ d x π . b - a L x + a ²

R = ρ π 0 L d x b - a L x + a ²

Vixe! Que feio! Mas lembra que isso aí era algo do tipo c x + d

R = ρ π 0 L d x c x + d ²

R = - ρ π . 1 c   . 1 c x + d 0 L = - ρ π . 1 b - a L . 1 b - a + a - 1 a = - ρ . L b - a π 1 b - 1 a

R = ρ L π b a

Substituindo os valores com as unidades no SI, encontraremos:

R = 9,81.10 5 Ω

Resposta

R = 9,81.10 5 Ω

Exercício Resolvido #10

Enunciado

USP, P2 2014, Questão 1

A região entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios a e b com b > a é preenchida com um material de resistividade elétrica ρ r = C r 2 , onde r é a distância até o centro O das cascas esféricas e C é uma constante.

Ligando-se uma bateria às cascas esféricas como na figura observa-se uma corrente I no sentido indicado.

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J na região entre as cascas a < r < b .
  2. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  3. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J na região entre as cascas a < r < b .
  2. Vamos lá, essa questão é um pouco diferente! Mas continuamos tendo uma resistividade variando com r e queremos obter outras informações.

    Sabendo que a corrente sai da placa maior da fonte (ali na esquerda da figura), corre o circuito e volta para a placa menor, a gente consegue ver que a corrente vai fluir da casca menor para a casca maior.

    Beleza! Além disso, a densidade de corrente está relacionada com a corrente através da seguinte equação:

    I = S   J d A

    Agora é só resolver a integral e acabou!

    Já sabemos que a resistividade depende de r ... logo, a densidade de corrente também vai depender de r .

    I = S   J r d A = J r S d A

    A integral S d A vai ser exatamente a área da superfície S , de raio r . Portanto:

    I = J r 4 π r 2

    J r = I 4 π r 2

    Ah! Você só não pode esquecer de um detalhe muito importante... o problema pediu pra calcular o vetor densidade de corrente. Então faltou especificarmos a direção e o sentido da corrente.

    A parada é que nós acabamos falando disso aqui em cima. Quando falamos que a corrente vai fluir da casca esférica menor para a casca esférica maior, no fundo nós falamos que a densidade de corrente tem a direção radial, apontando pra fora... do mesmo jeito que representamos na última figura.

    Portanto:

    J r = I 4 π r 2   r ^

    Passo 2

  3. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  4. Vamos lá! A lei de Ohm nos permite relacionar a densidade de corrente com o campo elétrico através da seguinte equação:

    J = E ρ

    E = ρ J

    Onde ρ é a resistividade. Agora ficou fácil para nós!

    Só vamos ter o trabalho de substituir o que o problema nos disse e o que achamos no passo 1.

    E = C r 2 I 4 π r 2   r ^  

    E = C I 4 π   r ^

    Passo 3

  5. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .

Beleza... estávamos sempre calculando a resistência pela integral de d R = ρ ( r )   d r A r . Mas nessa questão, como podemos achar a diferença de potencial, um melhor caminho pra calcular essa resistência é através da relação:

V = R I

Mas, como já disse, pra isso nós temos que encontrar a diferença de potencial V . Pô! Mas na letra (b) nós calculamos o campo elétrico, certo?

Show! Podemos relacionar o campo elétrico E com o potencial V pela expressão:

V = - E d r = - a b C I 4 π   d r = - C I 4 π a b d r  

V = C I b - a 4 π

Voltando pra nossa primeira relação:

R = V I

R = C b - a 4 π

Resposta

  1. J r = I 4 π r 2 r ^

  2. E = C I 4 π   r ^

R = C b - a 4 π

Exercício Resolvido #11

Enunciado

Fundamentos de Circuitos Elétricos – 5ª Edição – Charles K. Alexander – Exercício 2.3

Uma barra de silício tem 4 c m de comprimento com uma seção circular. Se a resistência da barra for 240 Ω à temperatura ambiente, qual o raio da seção transversal da barra?

ρ S i = 6.4 × 10 2 Ω   .   m

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui vamos usar diretamente a expressão da 2 ª lei de Ohm, se liga:

R = ρ L A

O enunciado nos dá os seguintes dados: a resistência R = 240 Ω , o comprimento da barra L = 4 c m e a resistividade do silício ρ S i = 6.4 × 10 2 Ω   .   m

Substituindo tudo, conseguimos isolar a área da seção transversal:

A = 6,4   .   10 2   .   4   .   10 - 2 240 = 0.10666 m 2

Passo 2

Agora precisamos achar o raio. Como é uma seção circular, temos:

A = π r 2

Substituindo a área encontrada:

r = 0.10666 π = 0.184 m = 18.4 c m

Resposta

r = 18.4 c m

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