Enunciado

25. Use a análise nodal juntamente com o Matlab para determinar as tensões nos nós da Figura 3.74

Passo 1

No circuito acima, temos cinco nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

4   A = i 2 + i 3

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 2 = i 0 + i 1

E agora, a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 1 + i 4 = i 6

E por último, a L K C para o nó 4 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 3 = i 4 + i 5

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 =   v 2 8

i 1 =   v 2 -   v 3 10

i 2 =   v 1 - v 2   1

i 3 =   v 1 - v 4   20

i 4 =   v 4 - v 3 10

i 5 =   v 4   30

i 6 =   v 3   20

E substituindo em seguida essas correntes, nas quatro relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

4 =   v 1 - v 2 +   v 1 - v 4   20   ( I )   v 1 - v 2 =   v 2 8 +   v 2 -   v 3 10   I I   v 2 -   v 3 10 +   v 4 - v 3 10 =   v 3   20   I I I   v 1 - v 4   20 =   v 4 - v 3 10 +   v 4   30   ( I V )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

21 v 1 -   20 v 2 - v 4 = 80   ( I ) - 80 v 1 + 98 v 2 - 8 v 3 = 0   I I - 2 v 2 + 5 v 3 - 2 v 4 = 0   I I I 3 v 1 + 6 v 3 - 11 v 4 = 0   ( I V )

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com quatro equações e quatro incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de G a u s s .

A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.

Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:

Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.

O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.

Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.

Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do P a s s o   4 , pode ser escrito como:

21 - 20 0 - 1 - 80 98 - 8 0 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11 ⋅ v 1 v 2 v 3 v 4 = 80 0 0 0

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

21 - 20 0 - 1 - 80 98 - 8 0 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11 80 0 0 0

Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.

Passo 6

O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no P a s s o   5 . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).

Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:

multiplicação de um linha por uma constante não nula

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

permutação de duas linhas.

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

21 - 20 0 - 1 - 80 98 - 8 0 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11 80 0 0 0 →   L 2 = L 2 + 80 21 L 1 =

= 21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11 80 6400 21 0 0 →   L 4 = L 4 - 1 7 L 1 =

= 21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 - 2 5 - 2 0 20 7 6 - 76 7 80 6400 21 0 - 80 7 →   L 3 = L 3 + 21 229 L 2 =

= 21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 0 997 229 - 538 229 0 20 7 6 - 76 7 80 6400 21 6400 229 - 80 7 →   L 4 = L 4 - 30 229 L 2 =

= 21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 0 997 229 - 538 229 0 0 1614 229 - 2372 229 80 6400 21 6400 229 - 11760 229 →   L 4 = L 4 - 1614 977 L 3 =

= 21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 0 997 229 - 538 229 0 0 0 - 6328 977 80 6400 21 6400 229 - 95280 977

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de quatro equações e quatro incógnitas de antes, vai ficar assim:

21 - 20 0 - 1 0 458 21 - 8 - 80 21 0 0 997 229 - 538 229 0 0 0 - 6328 977 ⋅ v 1 v 2 v 3 v 4 = 80 6400 21 6400 229 - 95280 977

21 v 1 -   20 v 2 - v 4 = 80   ( I ) 458 21 v 2 - 8 v 3 - 80 21 v 4 = 6400 21   I I 997 229 v 3 - 538 229 v 4 = 6400 229   I I I - 6328 977 v 4 = - 95280 977   ( I V )

Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação ( I V ) :

- 6328 977 v 4 = - 95280 977

v 4 = 95280 6328

v 4 = 15,055   V

E agora, a equação ( I I I ) , uma vez que já sabemos o valor de v 4 :

997 229 v 3 - 538 229 v 4 = 6400 229

997 229 v 3 - 538 229 ⋅ 95280 6328 = 6400 229

997 229 v 3 = 6400 229 + 538 229 ⋅ 95280 6328

997 229 v 3 = 11469980 181139

v 3 = 11740 791   V

v 3 = 14,842   V

Depois, a equação ( I I ) , onde já sabemos o valor de v 4 e v 3 :

458 21 v 2 - 8 v 3 - 80 21 v 4 = 6400 21

458 21 v 2 - 8 ⋅ 11740 791 - 80 21 ⋅ 95280 6328 = 6400 21

458 21 v 2 = 7987520 16611

v 2 = 17440 791   V

v 2 = 22,048   V

Por último, a equação ( I ) , dado que já sabemos o valor de v 4 , v 3 e v 2 :

21 v 1 -   20 v 2 - v 4 = 80

21 v 1 - 20 ⋅ 17440 791 - 95280 6328 = 80

21 v 1 = 60570 113

v 1 = 60570 2373   V = 2190 791   V

v 1 = 25,52   V

Obtemos nossas respostas!

Viu só! Nem precisamos de M a t l a b !

Passo 7

Mas caso tenha alguma curiosidade! Aqui está o jeito pra resolver esse problema no M a t l a b ...

Escrevendo o sistema linear do P a s s o   4 na forma matricial, temos que:

21 - 20 0 - 1 - 80 98 - 8 0 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11 ⋅ v 1 v 2 v 3 v 4 = 80 0 0 0

Tudo que precisamos fazer então, é usar no Matlab a seguinte relação:

V = i n v Y * I

Onde:

I = 80 0 0 0

Y = 21 - 20 0 - 1 - 80 98 - 8 0 0 - 2 5 - 2 3 0 6 - 11

No M a t l a b , a matriz Y vai ficar assim:

Y = ( 21 ,   - 20 ,   0 ,   - 1 ; - 80 ,   98 ,   - 8 ,   0 ;   0 , - 2 ,   5 , - 2 ;   3 ,   0 ,   6 , - 11 )

E I fica desse jeito:

I = ( 80 ; 0 ; 0 ; 0 )

E com isso, obtemos a seguinte resposta:

V = 25,52   22,048 14,482 15,055

Que é a mesma coisa que conseguimos em nossos cálculos!

Viu só! Acertamos em cheio!

Resposta

v 4 = 15,055   V

v 3 = 14,842   V

v 2 = 22,048   V

v 1 = 25,52   V

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10. Determine I 0 no circuito da figura 3.59
11. Determine V 0 e a potência dissipada em todos os resistores no circuito da Figura 3.60 .
12. Usando análise nodal, determine V 0 no circuito da figura 3.61 .