Enunciado

27. Use a análise nodal para determinar as tensões nodais v 1 , v 2 e v 3 no circuito da Figura 3.75

Passo 1

No circuito acima, temos quatro nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.

Olha só! Você ai deve estar se perguntando! Que raios é esse S nas resistências de nossa figura? Não deveria ser Ω?

Calma que eu vou explicar! A resistência em S nada mais é do que o inverso da resistência em . Se temos então uma resistência de 2   S , é porque a resistência equivalente em é:

A resistência em S é muito útil. Ao invés de dividirmos a tensão nodal pela resistência equivalente em ... Quando a resistência está em S , iremos multiplicar a tensão nodal pela resistência.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

2   A = i 1 + i 2 + 3 i 0 + i 5

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 2 = i 0 + i 4

E por último, a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 4 + 4   A + 3 i 0 + i 5 = i 3

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = 4 v 2

i 1 = 2 v 1

i 2 =   v 1 - v 2

i 3 = 2 v 3

i 4 =   v 2 - v 3

i 5 = 4 (   v 1 - v 3 )

E substituindo em seguida essas correntes, nas três relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

2 = 2 v 1 +   v 1 - v 2 + 3 ⋅ 4 v 2 + 4   v 1 - v 3     ( I )   v 1 - v 2 = 4 v 2 +   v 2 - v 3   I I   v 2 - v 3 + 4 + 3 ⋅ 4 v 2 + 4   v 1 - v 3 = 2 v 3   I I I

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

7 v 1 + 11 v 2 - 4 v 3 = 2   ( I ) - v 1 + 6 v 2 - v 3 = 0   I I 4 v 1 + 13 v 2 - 7 v 3 = - 4   I I I

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com três equações e três incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de G a u s s .

A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.

Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:

Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.

O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.

Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.

Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do P a s s o   4 , pode ser escrito como:

7 11 - 4 - 1 6 - 1 4 13 - 7 ⋅ v 1 v 2 v 3 = 2 0 - 4

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

7 11 - 4 - 1 6 - 1 4 13 - 7 2 0 - 4

Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.

Passo 6

O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no P a s s o   5 . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).

Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:

multiplicação de um linha por uma constante não nula

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

permutação de duas linhas.

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

7 11 - 4 - 1 6 - 1 4 13 - 7 2 0 - 4 →   L 2 = L 2 + 1 7 L 1 =

= 7 11 - 4 0 53 7 - 11 7 4 13 - 7 2 2 7 - 4 →   L 4 = L 4 - 1 7 L 1 =

= 7 11 - 4 0 53 7 - 11 7 0 47 7 - 33 7 2 2 7 - 36 7 →   L 3 = L 3 - 4 7 L 1 =

= 7 11 - 4 0 53 7 - 11 7 0 0 - 176 53 2 2 7 - 286 53

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de três equações e três incógnitas de antes, vai ficar assim:

7 11 - 4 0 53 7 - 11 7 0 0 - 176 53 ⋅ v 1 v 2 v 3 = 2 2 7 - 286 53

7 v 1 + 11 v 2 - 4 v 3 = 2   ( I ) 53 7 v 2 - 11 7 v 3 = 2 7   I I - 176 53 v 3 = - 286 53   I I I  

Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação ( I I I ) :

- 176 53 v 3 = - 286 53

v 3 = 286 176   V

v 3 = 13 8   V

v 3 = 1,625   V

E agora, a equação ( I I ) , uma vez que já sabemos o valor de v 3 :

53 7 v 2 - 11 7 v 3 = 2 7

53 7 v 2 - 11 7 ⋅ 13 8 = 2 7

53 7 v 2 = 159 56

v 2 = 3 8   V

v 2 = 0,375   V

Por último, a equação ( I ) , dado que já sabemos o valor de v 2 e v 3 :

7 v 1 + 11 v 2 - 4 v 3 = 2

7 v 1 + 11 ⋅ 3 8 - 4 ⋅ 13 8 = 80

7 v 1 = 35 8

v 1 = 5 8   V

v 1 = 0,625   V

E voilà! Obtemos nossas respostas!

Viu só! Nem precisamos do M a t l a b !

Resposta

v 1 = 0,625   V

v 2 = 0,375   V

v 3 = 1,625   V

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