Enunciado

28. Use o M a t l a b para determinar as tensões nos nós a , b , c e d no circuito da figura 3.77 .

Passo 1

No circuito acima, temos cinco nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó a , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 0 + i 4 + i 7 = 0

E depois, aplicando a L K C para o nó , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 5 + i 6 + i 7 = 0

Agora, a L K C para o nó c :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 3 = i 1 + i 6

E por último, a L K C para o nó d :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 0 + i 2 + i 3 = 0

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 =   v d + 60 - v a 4

i 1 =   v c 5

i 2 =   v d 20

i 3 =   v d - v c   10

i 4 = -   v a 16

i 5 = -   v b   8

i 6 =   v c - v b   4

i 7 =   v b - v a - 90   8

E substituindo em seguida essas correntes, nas quatro relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

  v d + 60 - v a 4 -   v a 16 +   v b - v a - 90   8 = 0   ( I ) -   v b   8 +   v c - v b   4 +   v b - v a - 90   8 = 0   I I   v d - v c   10 =   v c 5 +   v c - v b   4   I I I   v d + 60 - v a 4 =   v d 20 +   v d - v c   10   ( I V )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

7 v a -   2 v b - 4 v d = 60   I         v a -   4 v b + 2 v c = - 90   I I     - 5 v b +   11 v c - 2 v d = 0   I I I   5 v a + 2 v c - 8 v d = 300   ( I V )

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com quatro equações e quatro incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de G a u s s .

A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.

Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:

Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.

O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.

Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.

Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do P a s s o   4 , pode ser escrito como:

7 - 2 0 - 4 1 - 4 2 0 0 - 5 11 - 2 5 0 2 - 8 ⋅ v a v b v c v d = 60 - 90 0 300

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

7 - 2 0 - 4 1 - 4 2 0 0 - 5 11 - 2 5 0 2 - 8 60 - 90 0 300

Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.

Passo 6

O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no P a s s o   5 . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).

Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:

multiplicação de um linha por uma constante não nula

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

permutação de duas linhas.

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

7 - 2 0 - 4 1 - 4 2 0 0 - 5 11 - 2 5 0 2 - 8 60 - 90 0 300 →   L 2 = L 2 - 1 7 L 1 =

= 7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 - 5 11 - 2 5 0 2 - 8 60 - 690 7 0 300 →   L 4 = L 4 - 5 7 L 1 =

= 7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 - 5 11 - 2 5 10 7 2 - 36 7 60 - 690 7 0 1800 7 →   L 3 = L 3 - 35 26 L 2 =

= 7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 0 108 13 - 36 13 0 10 7 2 - 36 7 60 - 690 7 1725 13 1800 7 →   L 4 = L 4 + 5 13 L 2 =

= 7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 0 108 13 - 36 13 0 0 36 13 - 64 13 60 - 690 7 1725 13 2850 13 →   L 4 = L 4 - 1 3 L 3 =

= 7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 0 108 13 - 36 13 0 0 0 - 4 60 - 690 7 1725 13 175

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de quatro equações e quatro incógnitas de antes, vai ficar assim:

7 - 2 0 - 4 0 - 26 7 2 4 7 0 0 108 13 - 36 13 0 0 0 - 4 60 - 690 7 1725 13 175 ⋅ v a v b v c v d = 60 - 690 7 1725 13 175

7 v a -   2 v b - 4 v d = 60   I         - 26 7 v b + 2 v c + 4 7 v d = - 690 7   I I     108 13 v c - 36 13 v d = 1725 13   I I I   - 4 v d = 175   ( I V )

Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação ( I V ) :

- 4 v d = 175  

v d = - 175 4   V

v d = - 43,75   V

E agora, a equação ( I I I ) , uma vez que já sabemos o valor de v d :

108 v c - 36 v d = 1725

108 v c - 36 ⋅ ( - 43,75 ) = 1725

108 v c = 150

v c = 150 108   V

v c = 1,389   V

Depois, a equação ( I I ) , onde já sabemos o valor de v d e v c :

- 26 7 v b + 2 v c + 4 7 v d = - 690 7

- 26 v b + 14 v c + 4 v d = - 690

- 26 v b + 14 ⋅ ( 1,389 ) + 4 ⋅ ( - 43,75 ) = - 690

- 26 v b = - 534,446

v b = 534,446 26   V

v b = 20,56   V

Por último, a equação ( I ) , dado que já sabemos o valor de v 4 , v 3 e v 2 :

7 v a -   2 v b - 4 v d = 60  

7 v a - 2 ⋅ 20,56 - 4 ⋅ ( - 43,75 ) = 60

7 v a = - 73,88

v a = - 73,88 7   V

v a = - 10,56   V

Obtemos nossas respostas!

Viu só! Nem precisamos de M a t l a b !

Resposta

v a = - 10,56   V

v b = 20,56   V

v c = 1,389   V

v d = - 43,75   V

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

18. Determine as tensões nodais no circuito da figura 3.67 usando análise nodal.
20. Para o circuito da figura 3.69 , determine v 1 e v 2 usando análise nodal.
19. Use a análise nodal para determinar v 1 , v 2 e v 3 no circuito da figura 3.68 .
21. Para o circuito da figura 3.70 , determine v 1 e v 2 usando análise nodal.
22. Determine v 1 e v 2 para o circuito da Figura 3.71