Enunciado

31. Determine as tensões nodais para o circuito da figura 3.80

Passo 1

No circuito acima, temos quatro nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo. E entre os nós 1 e 2 , temos a presença de um supernó.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o supernó, temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

1   A + 2 v 0 = I 1 + I 2 + I 3

E depois, aplicando a L K C para o nó 3 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

I 1 = I 0 + I 4 + 2 v 0

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

I 0 =   v 3 4

I 1 =   v 1 - v 3 1

I 2 =   v 1 4

I 3 = v 2   1

I 4 =   v 3 - 10   2

E substituindo em seguida essas correntes, nas duas relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

1 + 2 v 0 =   v 1 - v 3 1 +   v 1 4 + v 2   1   ( I )   v 1 - v 3 1 =   v 3 4 +   v 3 - 10   2 + 2 v 0   I I

Só que da figura do P a s s o   2 , tiramos que:

v 1 - v 0 = v 3

v 0 = v 1 - v 3

O que nos leva à:

1 + 2 ⋅ ( v 1 - v 3 ) =   v 1 - v 3 1 +   v 1 4 + v 2   1   ( I )   v 1 - v 3 1 =   v 3 4 +   v 3 - 10   2 + 2 ⋅ ( v 1 - v 3 )   I I

E também, olhando o Supernó entre 1 e 2 , obtemos a seguinte relação:

v 1 + 4 I 0 = v 2

v 1 = v 2 - 4 I 0

v 1 = v 2 - 4 ⋅   v 3 4

v 1 = v 2 - v 3

v 2 = v 1 + v 3

De modo que ficamos com:

1 + 2 ( v 1 - v 3 ) =   v 1 - v 3 1 +   v 1 4 + v 1 + v 3   1   ( I )   v 1 - v 3 1 =   v 3 4 +   v 3 - 10   2 + 2 ( v 1 - v 3 )   I I

4 + 8 v 1 - 8 v 3 =   4 ( v 1 - v 3 ) + v 1 + 4 ( v 1 + v 3 )   ( I )   4 ( v 1 - v 3 ) 4 =   v 3 4 +   2 ( v 3 - 10 )   4 + 8 ( v 1 - v 3 )   I I

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

v 1 + 8 v 3 = 4   I               v 3 - 4 v 1 = - 20   I I

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com duas equações e duas incógnitas, né? Vai ser moleza.

Vamos então, multiplicar essa segunda equação do P a s s o   4 por - 8 e depois somar com a primeira:

  v 1 + 8 v 3 = 4   - 8 v 3 + 32 v 1 = 160

De modo a ficarmos apenas com:

33 v 1 = 164

v 1 = 164 33   V

v 1 = 4,97   V

E substituindo esse v 1 na nossa segunda equação do P a s s o   4 , obtemos o valor de v 3 :

v 3 - 4 v 1 = - 20

v 3 = 4 v 1 - 20

v 3 = 4 ⋅ ( 4,97 ) - 20

v 3 = - 0,12   V

Finalmente, uma vez que sabemos da seguinte relação abaixo; podemos obter v 2 :

v 2 = v 1 + v 3

v 2 = 4,97   V - 0,12   V

v 2 = 4,85   V

Resposta

v 1 = 4,97   V

v 2 = 4,85   V

v 3 = - 0,12   V

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