Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 13.Problemas - Ex. 18

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Determine o equivalente de Thévenin à esquerda da carga Z no circuito da figura abaixo.

Passo 1

Vamos começar substituindo o circuito acoplado mutuamente pela fonte dependente equivalente. Primeiro determinaremos as tensões induzidas e, em seguida, definimos os sinais adequados.

A corrente I 1 induz uma tensão na segunda bobina representada pelo valor j ω M I 1 , e I 2 induz uma tensão de j ω M I 2 na primeira bobina. Sabemos:

j ω L 1 = j 5   ⇒   L 1 = 5 ω

e

j ω L 2 = j 20   ⇒   L 2 = 20 ω

Com a relação de indutância mútua, obtemos o valor de ω M :

M = k L 1 L 2 = 0,5 100 ω 2 = 0,5 10 ω = 5 ω

ω M = 5

Portanto, a tensão induzida na segunda bobina é j 5 I 1 e na primeira bobina é j 5 I 2 .

Passo 2

Agora que já sabemos os valores das tensões induzidas, vamos determinar os sinais corretos para as fontes dependentes. A corrente I 1 entra em L 1 pelo lado do ponto e induz uma tensão em L 2 com um sinal + no lado superior e um sinal – no lado inferior. I 2 sai pela extremidade do ponto de L 2 induzindo uma tensão em L 1 com um sinal + no lado inferior e um sinal – no lado superior.

Então o circuito equivalente com as fonte dependentes é mostrado a seguir:

Passo 3

Consideremos o circuito abaixo para determinar V T h :

Para calcular a tensão do circuito aberto, notamos que I 2 é igual a zero. Aplicando a análise de

malhas aos dois laços, obtemos:

- 120 + - j 4 + j 5 + 4 + j 6 I 1 = 0

I 1 = 120 4 + j 7

Vamos converter o denominador da fração para forma polar e assim facilitar nossa divisão:

4 + j 7 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   8,06 ∠ 60,25 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

Então a corrente I 1 será:

I 1 = 120 8,06 ∠ 60,25 ° = 14,89 ∠ - 60,25 °   A

Agora que já sabemos a corrente, podemos calcular a tensão de circuito aberto:

V T h = j 5 + 4 + j 6 I 1 = 4 + j 11 I 1 = ( 4 + j 11 ) ( 14,89 ∠ - 60,25 ° )

Vamos converter novamente para forma polar afim de facilitar agora nossa multiplicação:

4 + j 11 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   11,70 ∠ 70,01 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

Assim, V T h é calculada como se segue:

V T h = 11,70 ∠ 70,01 ° 14,89 ∠ - 60,25 ° = 174,21 ∠ 9,76 °

V T h = 174 , 21 ∠ 9 , 76 °

Passo 4

Vamos agora encontrar a impedância de entrada Z T h . Para isso vamos primeiro encontrar a corrente de curto-circuito I N do teorema de Norton, para assim calcular Z T h pela relação:

I N = V T h Z T h

Então vamos lá! Para determinar I N curto-circuitamos os terminais de Z :

Resolvemos as seguintes equações de malha:

Malha 1:

- 120 + - j 4 + j 5 I 1 - j 5 I 2 + 4 + j 6 I 1 - I 2 = 0

j I 1 + 4 I 1 + j 6 I 1 - j 5 I 2 - 4 I 2 - j 6 I 2 = 120

4 + j 7 I 1 - 4 + j 11 I 2 = 120

Malha 2:

4 + j 6 I 2 - I 1 - j 5 I 1 + j 20 + j 2 I 2 = 0

- 4 I 1 - j 6 I 1 - j 5 I 1 + 4 I 2 + j 6 I 2 + j 22 I 2 = 0

- 4 + j 11 I 1 + 4 + j 28 I 2 = 0

I 1 = 4 + j 28 4 + j 11 I 2

Convertendo da forma retangular para a polar:

4 + j 28 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   28,28 ∠ 81,87 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

4 + j 11 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   11,70 ∠ 70,01 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

Calculamos o valor de I 1 :

I 1 = 28,28 ∠ 81,87 ° 11,70 ∠ 70,01 ° I 2 = 2,42 ∠ 11,86 ° I 2

Substitiundo esse valor da equação da Malha 1, temos:

4 + j 7 2,42 ∠ 11,86 ° I 2 - 4 + j 11 I 2 = 120

Sendo

4 + j 7 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   8,06 ∠ 60,25 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

Temos

8,06 ∠ 60,25 ° 2,42 ∠ 11,86 ° I 2 - 4 + j 11 I 2 = 120

19,50 ∠ 72,11 ° I 2 - 4 + j 11 I 2 = 120

Convertendo de polar para retangular e substituindo na equação:

19,50 ∠ 72,11 ° ⏞ F o r m a   P o l a r →   5,99 + j 18,56 ⏞ F o r m a   R e t a n g u l a r

5,99 + j 18,56 I 2 - 4 + j 11 I 2 = 120

1 , 99 + j 7 , 56 I 2 = 120

Daí a gente volta a converter para forma polar e assim obtemos I 2 que é a corrente de curto-circuito I N :

1 , 99 + j 7,56 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   7 , 82 ∠ 75,25 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

I 2 = 120 7 , 82 ∠ 75,25 ° = 15,34 ∠ - 75,25 °

I 2 = I N = 15,34 ∠ - 75,25 °   A

Passo 5

Agora encontramos a impedância de entrada Z T h :

Z T h = V T h I N = 174,21 ∠ 9,76 ° 15,34 ∠ - 75,25 ° = 11,36 ∠ 85,01 °

Z T h = 11,36 ∠ 85,01 °   Ω

Resposta

Logo, o equivalente de Thévenin à esquerda da carga Z no circuito é:

V T h = 174 , 21 ∠ 9 , 76 °     V

e

Z T h = 11,36 ∠ 85,01 °   Ω

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