Exercícios Resolvidos de Energia, Trabalho e Potência

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Enunciado

Um tanque rígido de 1,8   m 3 contém 0,2   k g de N 2 e 0,15   k g de ar separados por um pistão móvel. O êmbolo está inicialmente travado por pinos. Nesta condição, o N 2 ocupa 1   m 3 do tanque. Considere que ambos os gases perfeitos possuem a mesma temperatura. Além disso, suponha que a massa molar do N 2 vale 28,013   k g / k m o l e que a massa molar do ar vale 28,97   k g / k m o l . Após a remoção dos pinos, o pistão se movimenta. Quando isso ocorre, o N 2 realiza trabalho sobre o ar ou o ar realiza trabalho sobre o N 2 ?

Passo 1

O enunciado pede para que a gente determine se o trabalho é realizado pelo ar ou se ele é realizado pelo N 2 . Antes de resolver isso, vamos listar os dados fornecidos pelo enunciado e as incógnitas do problema com uma figura para organizar os pensamentos.

Como podemos descobrir quem realiza trabalho em quem? Observando a variação de volume dos gases depois que os pinos são removidos! Se o volume ocupado pelo ar V a r aumenta, o pistão é deslocado pra direita e o ar realiza trabalho W a r sobre o N 2 .

W a r > 0

W N 2 < 0

onde W N 2 é o trabalho realizado pelo gás nitrogênio N 2 .

Se o volume ocupado pelo ar V a r diminui, o pistão se desloca pra esquerda e o N 2 realiza trabalho W N 2 sobre o ar.

W a r < 0

W N 2 > 0

Ou seja, agora o objetivo do exercício mudou! Antes era pra descobrir o sinal do trabalho. Agora é pra saber se os volumes dos gases aumentam ou diminuem. Já é um avanço!

Mas como podemos saber se o volume do sistema aumenta ou diminui? Descobrindo para onde o pistão se move. Se a pressão do ar antes do pino ser removido P a r for maior que a pressão do nitrogênio P N 2 , o pistão vai pra direita e o volume do ar aumenta. Caso contrário, o pistão vai pra esquerda e o volume do ar diminui.

P N 2 < P a r ⟹ V a r ↑ e   V N 2 ↓

P N 2 > P a r ⟹ V a r ↓ e   V N 2 ↑

No próximo passo vamos aprender a calcular essas pressões!

Passo 2

As pressões dos gases são dadas indiretamente pelo problema. Para calculá-las, precisamos reorganizar a fórmula de gás perfeito. Para o ar, temos que:

P a r = m a r ⋅ R a r ⋅ T a r V a r

m a r = 0,1 5   k g

T a r = T N 2 = T

O volume do ar V a r também é dado indiretamente por meio do volume total do tanque V T e do volume ocupado pelo N 2 V N 2

V a r = V T - V N 2

V T = 1,8   m 3

V N 2 = 1,0   m 3

R a r é encontrado pela fórmula:

R a r = R ¯ M a r

R ¯ = 8314,5   J k m o l ⋅ K

M a r = 28,97   k g k m o l

A pressão do nitrogênio é obtida da mesma forma.

P N 2 = m N 2 ⋅ R N 2 ⋅ T N 2 V N 2

m N 2 = 0,2   k g

T N 2 = T a r = T

V N 2 = 1 , 0   m 3

O R N 2 é encontrado pela fórmula:

R N 2 = R ¯ M N 2

R ¯ = 8314,5   J k m o l ⋅ K

M N 2 = 28,013   k g k m o l

Agora vamos substituir os valores que temos nessas fórmulas para descobrir o que queremos! Mas isso vai ficar pra próxima etapa!

Passo 3

A primeira etapa é calcular R a r .

R a r = R ¯ M a r ⟹ R a r = 8314,5 28,97 ⟹ R a r = 287,0   J k g ⋅ K

Sabendo disso, pulamos para o cálculo do volume ocupado pelo ar, antes das travas do pistão serem removidas.

V a r = V T - V N 2 ⟹ V a r = 1,8 - 1,0 ⟹ V a r = 0,8   m 3

Com esses resultados, substituímos os valores na fórmula de pressão do ar.

P a r = m a r ⋅ R a r ⋅ T a r V a r ⟹ P a r = 0,15   ⋅ 287,0 ⋅ T 0,8 ⟹ P a r = 53 , 8125 ⋅ T

Agora é a vez de iniciarmos os cálculos da pressão do N 2 . Começamos os cálculos pelo R N 2 .

R N 2 = R ¯ M N 2 ⟹ R N 2 = 8314,5 28,013 ⟹ R N 2 = 296 , 8   J k g ⋅ K

Com esse valor, podemos encontrar a pressão do nitrogênio em função da sua temperatura.

P N 2 = m N 2 ⋅ R N 2 ⋅ T N 2 V N 2 ⟹ P N 2 = 0,2 ⋅ 296 , 8 ⋅ T 1,0 ⟹ P N 2 = 59 , 36 ⋅ T

Comparando as duas pressões, vemos que:

P N 2 > P a r

Isso quer dizer que o pistão vai se mover pra esquerda e o volume de ar vai diminuir. Ou seja, o N 2 realiza trabalho no ar!

Resposta

O N 2 realiza trabalho no ar.

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