Exercícios Resolvidos de Energia, Trabalho e Potência

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Enunciado

Um tanque rígido de 2   m 3 contém 0,2   k g de N 2 , 0,3   k g de ar e 0,1   k g de hélio H e separados por dois pistões móveis. Os êmbolos estão inicialmente travados por pinos. Nesta condição, o N 2 ocupa 1   m 3 do tanque e o H e ocupa 0,6   m 3 . Considere que os três gases perfeitos possuem 300   K de temperatura. Além disso, suponha que a massa molar do N 2 vale 28,013   k g / k m o l , que a massa molar do ar vale 28,97   k g / k m o l e que a massa molar do H e vale 4,003   k g / k m o l . Após a remoção dos pinos, os pistões se movimentam. As temperaturas de todos os gases permanecem constantes durante toda a movimentação. Após os pistões pararem, determine se cada gás realizou ou sofreu trabalho durante o reposicionamento dos êmbolos.

Passo 1

O enunciado pede para que a gente determine se o trabalho é realizado por cada gás ou se ele é realizado sobre cada gás. Mas antes de resolver isso, vamos listar os dados fornecidos pelo enunciado com uma figura para organizar os pensamentos.

Como podemos descobrir se o gás realiza ou sofre trabalho? Observando a variação de volume dos gases depois que os pinos são removidos! Por exemplo, se o volume ocupado pelo ar V a r aumenta, o ar realiza trabalho W a r . Se ele diminui, o ar sofre trabalho.

V a r , 1 < V a r , 2 ⟹ W a r > 0

V a r , 2 < V a r , 1 ⟹ W a r < 0

onde V a r , 1 é o volume do ar antes de removerem os pinos e V a r , 2 é o volume ocupado pelo ar depois de removerem os pinos.

Essa regra de variação de volume serve para os outros dois gases também!

V N 2 , 1 < V N 2 , 2 ⟹ W N 2 > 0

V N 2 , 2 < V N 2 , 1 ⟹ W N 2 < 0

V H e , 1 < V H e , 2 ⟹ W H e > 0

V H e , 2 < V H e , 1 ⟹ W H e < 0

Os volumes V H e , 1 e V N 2 , 1 foram dados pelo enunciado.

V H e , 1 = 0,6   m 3

V N 2 , 1 = 1,0   m 3

O volume V a r , 1 foi fornecido de forma indireta pelo enunciado, quando ele disse o volume total do tanque rígido V T .

V a r , 1 = V T - V H e , 1 - V N 2 , 1

V T = 2,0   m 3

Mas como podemos determinar os volumes de cada gás depois do pino ser removido e os pistões se equilibrarem em uma nova posição?

Dividimos essa tarefa em três etapas:

  1. Achar as pressões dos gases antes das travas dos pistões serem removidas P a r , 1 ,   P N 2 , 1 ,   P H e , 1 através das fórmulas de gás perfeito;
  2. Achar as pressões dos gases depois das travas dos pistões serem removidas P a r , 2 ,   P N 2 , 2 ,   P H e , 2 através das fórmulas de gás perfeito, lembrando que as temperaturas dos gases não variam;
  3. Achar os volumes ocupados pelos gases depois da remoção das travas V a r , 2 ,   V N 2 , 2 ,   V H e , 2 .

Ufa! Quanta coisa! É muita coisa mesmo! Mas resolver o problema em etapas vai facilitar o entendimento.

No próximo passo vamos descobrir como calcular as pressões iniciais de cada gás!

Passo 2

As pressões dos gases, de quando os pinos ainda não tinham sido removidos, são dadas indiretamente pelo problema. Para calculá-las, precisamos reorganizar a fórmula de gás perfeito. Para o ar, temos que:

P a r , 1 = m a r ⋅ R a r ⋅ T a r V a r , 1

m a r = 0,3   k g

T a r = 300   K

R a r é encontrado pela fórmula:

R a r = R ¯ M a r

R ¯ = 8314,5   J k m o l ⋅ K

M a r = 28,97   k g k m o l

A pressão do nitrogênio é obtida da mesma forma.

P N 2 , 1 = m N 2 ⋅ R N 2 ⋅ T N 2 V N 2 , 1

m N 2 = 0,2   k g

T N 2 = 300   K

V N 2 , 1 = 1,0   m 3

O R N 2 é encontrado pela fórmula:

R N 2 = R ¯ M N 2

M N 2 = 28,013   k g k m o l

Por fim, a pressão do hélio é encontrada pela mesma equação.

P H e , 1 = m H e ⋅ R H e ⋅ T H e V H e , 1

m H e = 0,1   k g

T H e = 300   K

V H e , 1 = 0,6   m 3

O R H e é encontrado pela fórmula:

R H e = R ¯ M H e

M H e = 4,003   k g k m o l

Agora que já sabemos calcular as pressões iniciais, vamos calcular as pressões finais P a r , 2 ,   P N 2 , 2 ,   P H e , 2 .

Passo 3

Existem três informações escondidas no enunciado. Elas são fundamentais para o cálculo das pressões finais! A primeira é que essas pressões finais são todas iguais.

P a r , 2 =   P N 2 , 2 =   P H e , 2 = P 2

Essa informação está implícita na questão, quando o enunciado diz que os pistões param. Se eles param quer dizer que todas as pressões se equilibrar e fazem a mesma força nos êmbolos.

Também precisamos lembrar que as massas, assim como as temperaturas, permanecem iguais durante o movimento dos pistões.

m a r = 0,3   k g = c o n s t a n t e

m N 2 = 0,2   k g = c o n s t a n t e

m H e = 0,1   k g = c o n s t a n t e

T a r = 300   K = c o n s t a n t e

T N 2 = 300   K = c o n s t a n t e

T H e = 300   K = c o n s t a n t e

Por último, devemos lembrar que o volume do tanque rígido não varia. Ou seja, a soma de todos os volumes finais ocupados pelos gases continua sendo igual a 2   m 3 .

V a r , 2 +   V N 2 , 2 + V H e , 2 = V T = 2   m 3

Com essas informações, somos capazes de desenvolver as fórmulas das pressões finais. A primeira etapa é usar a informação de que as temperaturas permanecem constantes durante o movimento dos pistões. Se isso é verdade, temos que:

P a r , 1 ⋅ V a r , 1 = m a r ⋅ R a r ⋅ T a r = c o n s t a n t e

P H e , 1 ⋅ V H e , 1 = m H e ⋅ R H e ⋅ T H e = c o n s t a n t e

P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 = m N 2 ⋅ R N 2 ⋅ T N 2 = c o n s t a n t e

Se esses valores são constantes, os valores finais e iniciais são iguais.

P a r , 1 ⋅ V a r , 1 = P a r , 2 ⋅ V a r , 2

P H e , 1 ⋅ V H e , 1 = P H e , 2 ⋅ V H e , 2

P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 = P N 2 , 2 ⋅ V N 2 , 2

Reorganizando essas equações, já encontramos uma fórmula para V a r , 2 .

V a r , 2 = P a r , 1 ⋅ V a r , 1 P a r , 2

V H e , 2 = P H e , 1 ⋅ V H e , 1 P H e , 2

V N 2 , 2 = P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 P N 2 , 2

No entanto, ainda não conhecemos as pressões finais. Só sabemos que elas são iguais. De qualquer forma, podemos usar essa igualdade para achar uma nova expressão para os volumes finais.

V a r , 2 = P a r , 1 ⋅ V a r , 1 P 2

V H e , 2 = P H e , 1 ⋅ V H e , 1 P 2

V N 2 , 2 = P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 P 2

Usando essas fórmulas na equação da soma dos volumes, achamos que:

P a r , 1 ⋅ V a r , 1 P 2 +   P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 P 2 + P H e , 1 ⋅ V H e , 1 P 2 = 2   m 3

2 = P a r , 1 ⋅ V a r , 1 + P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 + P H e , 1 ⋅ V H e , 1 P 2

Reorganizando a equação, descobrimos que:

P 2 = P a r , 1 ⋅ V a r , 1 + P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 + P H e , 1 ⋅ V H e , 1 2

Pronto, achamos as pressões finais! Além disso, podemos usar esse valor de P 2 para encontrar os volumes finais nas fórmulas acima!

Então vamos começar a fazer os cálculos pra chegar nos volumes finais!

Passo 4

A primeira etapa é calcular R a r , R N 2 e R H e .

R a r = R ¯ M a r ⟹ R a r = 8314,5 28,97 ⟹ R a r = 287,0   J k g ⋅ K

R N 2 = R ¯ M N 2 ⟹ R N 2 = 8314,5 28,013 ⟹ R N 2 = 296,8   J k g ⋅ K

R H e = R ¯ M H e ⟹ R H e = 8314,5 4,003 ⟹ R H e = 2077,1   J k g ⋅ K

Sabendo disso, pulamos para o cálculo do volume ocupado pelo ar, antes das travas do pistão serem removidas.

V a r , 1 = V T - V H e , 1 - V N 2 , 1 ⟹ V a r , 1 = 2 - 0,6 - 1,0 ⟹ V a r , 1 = 0,4   m 3

Com esses resultados, substituímos os valores nas fórmulas de pressão inicial.

P a r , 1 = m a r ⋅ R a r ⋅ T a r V a r , 1 ⟹ P a r , 1 = 0,3 ⋅ 287,0 ⋅ 300 0,4 ⟹ P a r , 1 = 64575   P a

P N 2 , 1 = m N 2 ⋅ R N 2 ⋅ T N 2 V N 2 , 1 ⟹ P N 2 , 1 = 0,2 ⋅ 296,8 ⋅ 300 1,0 ⟹ P N 2 , 1 = 17808   P a

P H e , 1 = m H e ⋅ R H e ⋅ T H e V H e , 1 ⟹ P H e , 1 = 0,1 ⋅ 2077,1 ⋅ 300 0,6 ⟹ P H e , 1 = 103855   P a

Com as pressões iniciais, descobrimos a pressão final P 2 de todos os gases.

P 2 = P a r , 1 ⋅ V a r , 1 + P N 2 , 1 ⋅ V N 2 , 1 + P H e , 1 ⋅ V H e , 1 2

P 2 = 64575 ⋅ 0,4 + 17808 ⋅ 1 + 103855 ⋅ 0,6 2

P 2 = P a r , 2 =   P N 2 , 2 =   P H e , 2 = 52975,5   P a

Por fim, conseguimos achar os volumes finais, substituindo as pressões finais nas fórmulas.

V a r , 2 = 64575 ⋅ 0,4 52975,5 ⟹ V a r , 2 = 0,49   m 3

V H e , 2 = 103855 ⋅ 0,6 52975,5 ⟹ V H e , 2 = 1,18   m 3

V N 2 , 2 = 17808 ⋅ 1 52975,5 ⟹ V N 2 , 2 = 0,34   m 3

Com esses valores, decobrimos que: o volume do ar aumentou, o volume do hélio aumentou e o volume do N 2 diminuiu. Isso significa que o ar realizou trabalho, o hélio realizou trabalho e o nitrogênio sofreu trabalho!

Resposta

O ar realizou trabalho, o hélio realizou trabalho e o nitrogênio sofreu trabalho!

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