Exercícios Resolvidos de Equação de Laplace no Disco

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 334. Exercício 6

Encontre a solução u r , θ da equação de Laplace na região semicircular r < a , 0 < θ < π , que satisfaz as condições de contorno:

u r , 0 = 0 ,       u r , π = 0 ,       0 r < a

u a , θ = f θ ,       0 θ π

Suponha que u está bem definida e limitada na região dada.

Passo 1

Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:

r 2 2 u r 2 + r u r + 2 u θ 2 = 0

Fazendo a separação de variáveis:

u r , θ = R r Θ θ

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

r 2 R ' ' Θ + r R ' Θ + R Θ ' ' = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agrupando termos:

Θ r 2 R ' ' + r R ' = - R Θ ' '

E isolando:

r 2 R ' ' + r R ' R = - Θ ' ' Θ

Igualando ambas as expressões a uma constante λ arbitrária:

r 2 R ' ' + r R ' R = λ r 2 R ' ' + r R ' - λ R = 0

- Θ ' ' Θ = λ Θ ' ' + λ Θ = 0

Passo 3

E separando também as condições iniciais:

u r , 0 = u r , π = 0

R r Θ 0 = R r Θ π = 0

Como a solução R r = 0 é trivial, nós a descartamos. Portanto segue que:

Θ 0 = Θ π = 0

Juntando estes valores com a equação em θ obtemos:

Θ ' ' + λ Θ = 0 Θ 0 = Θ π = 0

Passo 4

Para resolver a equação em θ precisamos considerar as possíveis faixas de valores de λ . Testando:

λ = 0 Θ ' ' = 0

Θ = a θ + b

Substituindo os valores das condições: Θ 0 = b = 0

Θ π = a π = 0

Portanto temos a solução trivial:

Θ θ = 0

Passo 5

Tentando λ > 0 , fazemos:

λ = μ 2

Para garantir que lambda seja positivo. Além disso, vamos substituir uma solução da forma:

Θ θ = e k θ

E achar o k . Plugando na EDO:

e k θ ' ' + μ 2 e k θ = 0

k 2 e k θ + μ 2 e k θ = 0

e k θ k 2 + μ 2 = 0 k 2 + μ 2 = 0

k = ± i μ

Passo 6

Ou seja, como a equação característica tem raízes complexas, temos que as soluções são da forma:

A 1 e i μ θ + A 2 e - i μ θ c 1 cos μ θ + c 2 sen μ θ

Naturalmente vamos utilizar a forma da direita por ser mais simples. Substituindo os valores vamos tentar descobrir as constantes:

Θ 0 = c 1 cos 0 + c 2 sen 0 = 0

Θ 0 = c 1 = 0

Show de bola. A função fica:

Θ θ = c 2 sen μ θ

Agora substituindo a outra:

Θ π = c 2 sen μ π = 0

Passo 7

Agora vejamos, para não cair na solução trivial de novo ( c 2 = 0 ), podemos buscar quais μ resolvem a equação acima. O que equivale à resolver:

sen x = 0

Que tem solução:

x = α π ,       α Z

Portanto, como só nos interessa λ > 0 :

μ π = α π ,       α Z +

μ = α ,       α Z +

Passo 8

Portanto a nossa solução geral fica:

Θ θ = α = 1 sen α θ

Testando a gora a última faixa de valores possíveis λ < 0 , fazemos:

λ = - μ 2

Temos que a nossa equação característica fica:

k 2 - μ 2 = 0 k = ± μ

Que resulta em:

Θ θ = a 1 e μ θ + a 2 e - μ θ

Como essa função não é periódica em θ podemos descartar. Daria no mesmo substituir os valores e chegar na solução trivial:

Θ 0 = a 1 + a 2 = 0

Θ π = a 1 e μ π + a 2 e - μ π = 0

Resolvendo obtemos a 1 = a 2 = 0 . Portanto só existem soluções não triviais para λ > 0 .

Passo 9

Seguindo, podemos voltar à resolver a equação em r . Fazendo λ = μ 2 :

r 2 R ' ' + r R ' - μ 2 R = 0

Supomos uma solução da forma; R r = r p ,       p R

Substituindo:

r 2 r p ' ' + r r p ' - μ 2 r p = 0

Temos:

p p - 1 r p + p r p - μ 2 r p = 0

Pondo em evidência:

r p p 2 - p + p - μ 2 = 0

r p p 2 - μ 2 = 0

Como r p 0 para todo p R , temos que:

p 2 - μ 2 = 0 p = ± μ

Ou seja, a solução geral é:

R r = b 1 r μ + b 2 r - μ

Passo 10

Agora o papo é analisar essa função na região estudada. Como a região é tal que:

r 0 , a

θ 0 , π

Então precisamos garantir que dentro dela a função R r seja limitada, ou seja, não exploda para infinito. Como temos que:

lim r 0 r - μ =

Concluímos que:

b 2 = 0

Portanto a solução é:

R r = b 1 r μ

Plugando na solução mais geral, sabendo que μ = k :

u r , θ = k = 1 c k r k sen k θ

Passo 11

Falta nós determinarmos os coeficientes c k . Sabemos que, pelo enunciado, a informação que ficou sobrando é:

u a , θ = f θ

Que significa:

k = 1 c k a k sen k θ = f θ

Podemos ver que à esquerda temos uma série de Fourier para a função f , portanto os coeficientes são determinados pela fórmula:

a k c k = 2 P 0 P f θ sen 2 π k θ P d θ

Onde P é o período da função. Como sabemos que, por estar num semicírculo, ela deve ser π -periódica, temos:

P = π

c k = 2 a k π 0 π f θ sen 2 k θ d θ

Resposta

u r , θ = k = 1 c k r k sen k θ

c k = 2 a k π 0 π f θ sen 2 k θ d θ

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