Equação de Laplace no Disco
Teoria
Introdução
Oi, pessoal! Pensa que temos um disco metálico. Pensou?! Agora vamos colocar um maçarico no centro dele e aquecer bastante. Deve tá bem quente, né?! Então vamos tirar o maçarico agora. O que vai acontecer?
Se você disse que o disco vai esfriar e entrar em equilíbrio térmico, você acertou! Mas o nosso desafio não será esse. Nosso desafio será achar a distribuição de temperatura ao longo desse disco. E como fazemos isso? Através da equação de Laplace no Disco.
Como estamos falando de um disco, a região será delimitada pela equação da circunferência e poderemos escrever a equação utilizando coordenadas polares, . Onde é a função que representa a temperatura em um dado ponto do disco.
Como nosso disco é descrito em função de e , a nossa equação que descreverá a distribuição de temperatura terá a seguinte cara, seja a temperatura.
Poderíamos mostrar como chegar na equação, mas vai dar um trabalhão e o nosso foco é saber utilizá-la.
Para quem lembrar, essa equação é equivalente à de Laplace antiga para o caso de um retângulo.
Mas como eu falei, vamos aprender a resolvê-la.
Análise Geral
Para resolver problemas da equação de Laplace vamos sempre separar nossas variáveis na função de temperatura. Então vamos escrever:
Nós temos diferentes limitações para essas duas funções ( e ) no disco. Então vamos ter que avalia-las separadamente! Para facilitar vamos chamar de e de .
Substituindo na equação e utilizando a nova notação, temos:
Agora vamos isolar os termos. O que tem para um lado e o que tem para outro:
Pronto! Agora podemos igualar essa expressão a um constante arbitrária,
Com isso, ficamos com duas EDOs que podemos resolver separadamente,
Agora vamos analisar as limitações separadamente!
Análise de
Vamos começar pelo ângulo . Se temos uma função de temperatura que age em função do ângulo dentro de um disco, a temperatura irá se repetir a cada volta no disco, ou seja, a função deve ser -periódica com respeito a essa variável.
Deste modo, quando resolvermos uma questão e acharmos várias soluções para , podemos excluir todas que não são periódicas com período .
Vamos voltar para equação!
Agora vamos avaliar quais faixas de valores de são possíveis para a solução. Vamos avaliar
Estudando a equação em , tentamos :
Como a segunda derivada é zero, a função terá essa cara (se quiser confirmar é só derivar duas vezes),
Entretanto, como deve ser -periódica e a equação é de uma reta, essa solução só funciona se o coeficiente angular for zero, ou seja, . Portanto temos:
Testando , podemos fazer essa igualdade:
Supondo por simplicidade, de forma que . Seguindo:
Que tem equação característica:
Que resulta na solução:
Como essa solução é -periódica para todo , está valendo.
Por fim, testamos . Fazendo:
Plugando na equação:
Que tem equação característica:
Resultando na solução:
Esta solução não é -periódica para quaisquer valores de , portanto concluímos que:
Neste caso, note que a nossa função ficaria,
E se nossa função for zero, toda equação que descreve a distribuição de calor no disco também irá zerar. Deste modo, não poderá ser menor que zero.
Pronto! Já temos nossas limitações para , onde , vamos passar para
Análise de
O que ocorre com a função é que normalmente as soluções que encontramos para ela tem algum fator que explode para infinito dentro dos limites do “círculo” considerado. Então o que faremos? Desconsideraremos esse fator, afinal a temperatura do disco tem que ter um valor finito.
Vamos para equação,
Substituindo os valores válidos de na equação em , temos para :
Arrumando:
Como buscamos uma solução para todo , a solução não interessa. Segue:
Como queremos achar vamos ter integrar essa equação.
Arrumando mais para podermos integrar:
Agora a gente vai integrar dos dois lados, mas para ficar mais claro como faremos isso, vou mudar a notação que estamos usando,
Lembra dos macetes do Cálculo 1? Então como é uma constante qualquer, eu posso escrever ela na forma logarítmica, pois assim vai me facilitar na hora de ajeitar a equação:
Integrando novamente:
Agora analisando a função encontrada, temos que ela não é limitada na região que estamos estudando, pois estamos no interior do círculo , e temos:
Portanto nos resta concluir que:
A solução fica:
Testando a outra faixa possível , fazemos , :
Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:
Plugamos:
Como para todos valores de :
As soluções então são:
Como estamos no interior do círculo , precisamos que a função não exploda para infinito em nenhum ponto desta região, logo como:
Concluímos que , portanto temos a autofunção:
Lembrando que para a gente não precisa testar porque a gente viu em que ele não era válido.
Recapitulando..
Então, para temos,
Para temos,
Enfim, tudo depende, o que você não pode é deixar de analisar os casos extremos. E essa matéria é basicamente isso. O resto é bastante parecido com Laplace no retângulo mesmo.
Em suma, faremos
, onde Em é periódica e Em é limitada.
E é isso aí! Vamos praticar um pouco agora!
Análise de R ( r )
Recapitulando..
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 334. Exercício 11
Encontre uma solução da equação de Laplace no interior do círculo , que satisfaça a condição de contorno sobre o círculo:
Passo 1
Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Fazendo a separação de variáveis:
Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:
Passo 2
Agrupando termos:
E isolando:
Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:
Passo 3
Agora vamos avaliar quais faixas de valores de são possíveis para a solução. Estudando a equação em , tentamos :
Entretanto, como deve ser -periódica, essa solução só funciona para . Portanto temos:
Passo 4
Testando , fazemos:
Supondo por simplicidade, de forma que . Seguindo:
Que tem equação característica:
Que resulta na solução:
Como essa solução é -periódica para todo , está valendo.
Passo 5
Por fim, testamos . Fazendo:
Plugando na equação:
Que tem equação característica:
Resultando na solução:
Esta solução não é -periódica para quaisquer valores de , portanto concluímos que:
Passo 6
Como para todo a solução trigonométrica funciona, fazendo (por elegância), temos então a autofunção de :
E a solução geral seria:
Substituindo os valores válidos de na equação em , temos para :
Arrumando:
Como buscamos uma solução para todo , a solução não interessa. Segue:
Passo 7
Arrumando mais para podermos integrar:
Integrando ambos os lados:
Pra quem lembra dos macetes de Cálculo 1:
Caso você não tenha sacado, pode resolver de outros jeitos.
Passo 8
Integrando novamente:
Agora analisando a função encontrada, temos que ela não é limitada na região que estamos estudando, pois estamos no interior do círculo , e temos:
Portanto nos resta concluir que:
A solução fica:
Passo 9
Testando a outra faixa possível , fazemos , :
Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:
Plugamos:
Como para todos valores de :
As soluções então são:
Passo 10
Como estamos no interior do círculo , precisamos que a função não exploda para infinito em nenhum ponto desta região, logo como:
Concluímos que , portanto temos a autofunção:
Plugando na autofunção geral:
Sem esquecer que temos também a solução constante:
A solução geral portanto fica:
Passo 11
Precisamos agora determinar os coeficientes e . Utilizando a última condição que sobrou do enunciado:
Basta derivar com respeito à e depois fazer e temos:
Como à esquerda temos uma série de Fourier da função , os coeficientes podem ser encontrados pelas fórmulas:
Como a função é -periódica, temos que . Descobrimos os coeficientes:
Resposta
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 334. Exercício 6
Encontre a solução da equação de Laplace na região semicircular , , que satisfaz as condições de contorno:
Suponha que está bem definida e limitada na região dada.
Passo 1
Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Fazendo a separação de variáveis:
Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:
Passo 2
Agrupando termos:
E isolando:
Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:
Passo 3
E separando também as condições iniciais:
Como a solução é trivial, nós a descartamos. Portanto segue que:
Juntando estes valores com a equação em obtemos:
Passo 4
Para resolver a equação em precisamos considerar as possíveis faixas de valores de . Testando:
Substituindo os valores das condições:
Portanto temos a solução trivial:
Passo 5
Tentando , fazemos:
Para garantir que lambda seja positivo. Além disso, vamos substituir uma solução da forma:
E achar o . Plugando na EDO: