Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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Enunciado

Considere o reator bioquímico descrito na figura abaixo, onde x 1 representa a biomassa presente no reator e x 2 o substrato. O reator possui um volume constante ( V r ) uma vez que as vazões de alimentação e de saída são iguais ( F ). A corrente de alimentação possui concentração de substrato igual a x2i e uma concentração de biomassa igual a zero.

Bequette (1998) propõe o modelo descrito pela equação abaixo para o processo:

d x 1 d t = x ' 1 = μ - D x 1

d x 2 d t = x ' 2 = D x 2 i - x 2 - μ x 1 Y

D = F V r

onde Y é a relação constante entre as taxas de geração de biomassa e o consumo de substrato e μ é o coeficiente de taxa de crescimento descrito pela equação:

μ = μ m a x x 2 k m + x 2 + k 1 x 2 2

Descreva o comportamento das concentrações de biomassa e de substrato considerando um tempo de integração de 30 horas ( 0 < t < 30 ), as condições iniciais:

t = 0 :   x 1 = 1         x 2 = 1

E os valores para os parâmetros descritos na tabela abaixo:

BEQUETTE, B. W., Process Dynamics: Modeling, Analysis and Simulation, 1a ed. USA, PrenticeHall PTR, 1998.

Passo 1

O exercício nos dá um sistema de EDOs de primeira ordem, composto de duas EDOs, representando as concentrações de biomassa ( x 1 ) e de substrato ( x 2 ) presentes em um reator bioquímico.

O enunciado pede para resolvermos o sistema de EDOs em um intervalo de integração de t 0 = 0 a t f = 30 horas, isto é, o intervalo de integração é t i n t = [ t 0 t f ] = [ 0 30 ] .

Para resolvermos o sistema de EDOs, temos como condições iniciais:

t 0 = 0 :   x 1 = 1         x 2 = 1

Portanto, temos todas as entradas para usarmos a função o d e 45 do MATLAB para encontrarmos a solução do sistema de EDOs.

O exercício pede para descrevermos o comportamento das concentrações de biomassa e de substrato, isto é, de x 1 e x 2 , respectivamente, no intervalo de 30 horas. Por isso, é legal no final gerarmos um gráfico com as curvas de x 1 e x 2 , plotadas usando o resultado da o d e 45 .

Passo 2

Vamos começar relembrando a função o d e 45 do MATLAB, que tem a estrutura:

[ t , x ]   =   o d e 45 ( E D O _ f u n , t _ i n t , x 0 )

Ela tem três entradas:

  • E D O _ f u n : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
  • x ' 1 = μ - D x 1 x ' 2 = D x 2 i - x 2 - μ x 1 Y

  • t _ i n t : intervalo de integração, normalmente no formato [ t 0   t f ] : o intervalo começa em t 0 e termina em t f . Neste exercício, t 0 = 0 , t f = 3 0 , logo t _ i n t = 1 3 0 ;
  • x 0 : vetor com as condições iniciais de x 1 e x 2   em t 0 = 0 . Temos que x 1 0 = x 2 0 = 1 , logo, x 0 = 1 1 .

A função o d e 45 nos dará duas saídas: um vetor com valores de t (começando em t 0 e terminando em t f , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz x de duas colunas com os valores de x 1 e x 2 (iniciando em t 0 e terminando nos valores de x 1 e x 2 correspondentes a t f ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de x corresponde a x 1 e a segunda coluna de x corresponde a x 2 .

Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam de x 1 e x 2 para o intervalo de integração t _ i n t .

Vamos implementar tudo isso no MATLAB. Primeiramente, abra um script novo e crie a função E D O _ e x 5 . Vamos entrar com os dados da tabela do enunciado, com as seguintes linhas de código:

Como queremos encontrar duas funções ( x 1 e x 2 ), a entrada x da função E D O _ e x 5 é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando x 1 e o segundo elemento, x 2 . A saídade d x d t é um vetor representando as derivadas das funções x 1 e x 2 e também é um vetor de dois elementos.

Em seguida, entre com a equação do coeficiente de taxa de crescimento:

μ = μ m a x x 2 k m + x 2 + k 1 x 2 2

Digitando a linha de código:

Tendo entrado com a equação de μ , finalmente podemos entrar com o sistema de EDOs:

No final, a função E D O _ e x 5 ficou com essa carinha:

Passo 3

Após concluir a função E D O _ e x 5 , vamos resolver o sistema de EDOs. Digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB:

A primeira linha cria o intervalo de integração t _ i n t = 0 3 0 .

A segunda linha cria as condições iniciais de x 1 e x 2 . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, x 0 = 1 1 .

Em seguida, usamos a o d e 45 para resolver o sistema. Repare que no lugar de E D O _ f u n coloquei uma string ‘ E D O _ e x 5 ’ . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.

A saída de o d e 45 será um vetor t , representando a variável independente, e uma matriz x com duas colunas, a primeira representando x 1 e a segunda, x 2 . A saída representa a solução do sistema de EDOs.

Passo 4

O exercício pede para analisarmos o comportamento das concentrações de biomassa e de substrato, isto é, de x 1 e x 2 , respectivamente, no intervalo de 30 horas. Por isso, vamos gerar um gráfico com as curvas de x 1 e x 2 , usando os vetores de saída t e x da o d e 45 .

Para plotar x 1 e x 2 , entre os seguintes comandos no script onde você usou a função o d e 45 :

Na primeira linha, usamos a função p l o t para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de x 1 e x 2 . O primeiro par t , x ( : , 1 ) pega a primeira coluna de x , correspondendo a x 1 e a plota em função de t . Da mesma maneira, o segundo par t , w ( : , 2 ) pega a segunda coluna de x , correspondendo a x 2 e a plota em função de t .

Na segunda linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par t , w ( : , 1 ) representa a concentração de biomassa e o par t , w : , 2 representa a concentração de substrato.

Na terceira linha, damos um nome para o eixo horizontal do gráfico usando o comando x l a b e l . O nome indica que no eixo horizontal temos o tempo em horas.

Na quarta linha, damos um nome para o eixo vertical do gráfico usando o comando y l a b e l . O nome indica que no eixo vertical temos a concentração em gramas/litro.

Rodando o programa, o gráfico será gerado e podemos analisar o comportamento da biomassa e do substrato.

Resposta

O gráfico acima contém as curvas de concentração de biomassa ( x 1 , em azul) e de substrato ( x 2 , em vermelho), em um reator bioquímico, para um intervalo de 0 a 30 horas.

No começo, nas primeiras 10 horas, a concentração de biomassa aumenta, enquanto a de substrato diminui. Após as 10 primeiras horas, as concentrações de biomassa e substrato se estabilizam e tornam-se constantes.