Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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Enunciado

Dado o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:

u ' ' + 4 t u ' - 12 u = 2 t + 1 , 1 ≤ t ≤ 3 , u 1 = 1 ,   u ' 1 = 2

  1. Reescreva o PVI como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem;
  2. Resolva o sistema de EDO e plote a função u ( t ) e sua primeira derivada.

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO de segunda ordem (tem uma segunda derivada na equação) e primeiro nos pede para convertê-la em um sistema de EDOs de primeira ordem.

Esta etapa é necessária para respondermos à letra b usando o MATLAB, que só resolve EDOs de primeira ordem. A letra b nos pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem construído na letra a e gerar gráficos da solução do sistema, que é a função u ( t ) , e de sua primeira derivada.

Resolveremos o sistema de EDOs criado na letra a com a função o d e 45 . O enunciado também nos deu todas entradas necessárias para usarmos ode45: um intervalo de integração e valores iniciais para a função u ( t ) e sua derivada primeira.

Passo 2

Vamos começar com a letra a. Para converter u ' ' + 4 t u ' - 12 u = 2 t + 1 em um sistema de EDOs de primeira ordem, vamos dizer que:

w 1 t = u ' ( t )

w 2 t = u ( t )

Substituindo w 1 e w 2 na EDO original, temos:

w 1 ' + 4 t w 1 - 12 w 2 = 2 t + 1

Isolando w 1 ' na equação acima, temos:

w 1 ' = - 4 t w 1 + 12 w 2 + 2 t + 1

Esta é a primeira equação do sistema de EDOs de primeira ordem.

Para construir a segunda equação do sistema, considere que:

w ' 2 t = u ' = w 1 t

Logo, o sistema de EDOs de primeira ordem construído a partir de u ' ' + 4 t u ' - 12 u = 2 t + 1 é:

w 1 ' = - 4 t w 1 + 12 w 2 + 2 t + 1 w ' 2 t = w 1 t

Pronto! Letra a resolvida.

Passo 3

A letra b pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem obtido na letra a. Para isto, usaremos a função o d e 45 do MATLAB, que tem a estrutura:

[ t , w ]   =   o d e 45 ( E D O _ f u n , t _ i n t , t 0 )

Ela tem três entradas:

  • E D O _ f u n : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
  • w 1 ' = - 4 t w 1 + 12 w 2 + 2 t + 1 w ' 2 t = w 1 t

  • t _ i n t : intervalo de integração, normalmente no formato [ t 0   t f ] : o intervalo começa em t 0 e termina em t f . Neste exercício, t 0 = 1 , t f = 3 , logo t _ i n t = 1 3 ;
  • t 0 : vetor com as condições iniciais de w 1 t = u ' ( t ) e w 2 t = u t   em t 0 .

Como u 1 = 1   e   u ' 1 = 2 , temos que w 1 1 = u ' 1 = 2 e w 2 1 = u 1 = 1 . Logo, t 0 = 2 1 .

A função o d e 45 nos dará duas saídas: um vetor com valores de t (começando em t 0 e terminando em t f , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz w de duas colunas com os valores de w 1 e w 2 (iniciando em t 0 e terminando nos valores de w 1 e w 2 correspondentes a t f ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de w corresponde a w 1 e a segunda coluna de w corresponde a w 2 .

Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam a função u ( t ) , na forma de w 2 ( t ) , e sua primeira derivada, na forma de w 1 ( t ) , para o intervalo de integração t _ i n t .

Bora implementar tudo isso no MATLAB. Abra um script novo e crie a função E D O _ e x 2 , com o sistema de EDOs obtido na letra a:

Como queremos encontrar duas funções ( w 1 e w 2 ), a entrada w da função E D O _ e x 2 é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando w 1 e o segundo elemento, w 2 . O vetor representando as derivadas das funções w 1 e w 2 , d w d t , também é um vetor de dois elementos.

Para resolver o sistema de EDOs, digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB:

A primeira linha cria o intervalo de integração t _ i n t = 1 3 .

A segunda linha cria as condições iniciais de w 1 e w 2 . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, t 0 = 2 1 .

Em seguida, usamos a o d e 45 para resolver o sistema. Repare que no lugar de E D O _ f u n coloquei uma string ‘ E D O _ e x 2 ’ . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.

A saída de o d e 45 será um vetor t , representando a variável independente, e uma matriz w com duas colunas, a primeira representando w 1 e a segunda, w 2 . A saída representa a solução do sistema de EDOs.

Passo 4

Após obtermos a solução do sistema EDOs, podemos gerar as curvas de u ( t ) e de sua primeira derivada, u ’ ( t ) , usando as saídas de o d e 45 . Como a 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam w 1 ( t ) na primeira coluna de w e os pontos que representam w 2 ( t ) na segunda coluna de w , consequentemente temos u ' ( t ) e u ( t ) .

Para plotar u ( t ) e u ’ ( t ) , entre os seguintes comandos no script onde você usou a função o d e 45 :

Na primeira linha, usamos a função p l o t para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de u ( t ) e u ’ ( t ) . O primeiro par t , w ( : , 2 ) pega a segunda coluna de w , correspondendo a w 2 , isto é, a u ( t ) , e a plota em função de t . Da mesma maneira, o segundo par t , w ( : , 1 ) pega a primeira coluna de w , correspondendo a w 1 , isto é, a u ' ( t ) , e a plota em função de t .

Na segunda linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par t , w ( : , 2 ) representa u ( t ) e o par t , w : , 1 representa u ' t = d u / d t .

Para obter o resultado da letra b, rode o programa.

Resposta

  1. w 1 ' = - 4 t w 1 + 12 w 2 + 2 t + 1 w ' 2 t = w 1 t