Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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Enunciado

Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais, dado por

d u d t = u 1 - v ,   u 0 = 4 d v d t = v u - 2 ,   v 0 = 2

Este sistema modela a interação entre duas populações, uma de presas e outra de predadores. Faça o gráfico de u e v , para t ∈ [ 0 ,   20 ] .

Passo 1

O exercício nos dá um sistema de EDOs de primeira ordem, composto de duas EDOs, modelando a interação entre duas populações u e v .

O enunciado pede para resolvermos o sistema de EDOs em um intervalo de integração de t 0 = 0 a t f = 2 0 , isto é, o intervalo de integração é t i n t = [ t 0 t f ] = [ 0 2 0 ] .

Para resolvermos o sistema de EDOs, temos como condições iniciais u 0 = 4 e v ( 0 ) = 2 .

Portanto, temos todas as entradas para usarmos a função o d e 45 do MATLAB para encontrarmos a solução do sistema de EDOs.

O exercício pede para gerarmos o gráfico de u e v , plotadas usando o resultado da o d e 45 .

Passo 2

Vamos começar relembrando a função o d e 45 do MATLAB, que tem a estrutura:

[ t , x ]   =   o d e 45 ( E D O _ f u n , t _ i n t , x 0 )

Ela tem três entradas:

  • E D O _ f u n : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
  • d u d t = u 1 - v d v d t = v u - 2

  • t _ i n t : intervalo de integração, normalmente no formato [ t 0   t f ] : o intervalo começa em t 0 e termina em t f . Neste exercício, t 0 = 0 , t f = 2 0 , logo t _ i n t = 1 2 0 ;
  • x 0 : vetor com as condições iniciais de u e v   em t 0 = 0 . Temos que u 0 = 4 e v ( 0 ) = 2 , por isso faremos que x 0 = u 0 v ( 0 ) = 4 2 .

A função o d e 45 nos dará duas saídas: um vetor com valores de t (começando em t 0 e terminando em t f , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz x de duas colunas com os valores de u e v (iniciando em t 0 e terminando nos valores de u e v correspondentes a t f ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de x corresponde a u e a segunda coluna de x corresponde a v .

Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam de u e v para o intervalo de integração t _ i n t .

Vamos implementar tudo isso no MATLAB. Primeiramente, abra um script novo e crie a função E D O _ p r e s a . Vamos entrar com o sistema de equações, com as seguintes linhas de código:

Como queremos encontrar duas funções ( u e v ), a entrada x da função E D O _ p r e s a é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando u e o segundo elemento, v . Para facilitar a identificação de quem é quem na hora de digitar o sistema de EDOs, nas duas primeiras linhas da função, criei duas variáveis: u e v e indiquei que elas são o primeiro e o segundo elemento do vetor x , respectivamente.

O vetor representando as derivadas das funções u e v , d x d t , também é um vetor de dois elementos, sendo que o primeiro representa d u / d t e o segundo, d v / d t . Por isso, na terceira linha da função, dizemos que d x d t   é um vetor de zeros de dois elementos.

Finalmente, nas duas últimas linhas de código, temos o sistema de EDOs do enunciado.

Passo 3

Após concluir a função E D O _ p r e s a , vamos resolver o sistema de EDOs. Digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB (que deve sr salvo na mesma pasta onde foi salva a função):

A primeira linha cria o intervalo de integração t _ i n t = 0 2 0 .

A segunda linha cria as condições iniciais de u e v . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, x 0 = 4 2 .

Em seguida, usamos a o d e 45 para resolver o sistema. Repare que no lugar de E D O _ f u n coloquei uma string ‘ E D O _ p r e s a ’ . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.

A saída de o d e 45 será um vetor t , representando a variável independente t , e uma matriz x com duas colunas, a primeira representando u e a segunda, v . A saída representa a solução do sistema de EDOs e a partir delas que plotaremos os gráficos de u e v .

Passo 4

Para facilitar a identificação na hora de plotar u e v , inclua em seu script as duas linhas de código abaixo:

Na primeira linha, crio um vetor u que armazena a primeira coluna de x , que representa u ( t ) obtida pela integração numérica de o d e 45 .

Na segunda linha, faço a mesma coisa para v ( t ) : crio um vetor v que armazena a segunda coluna de x , que é v ( t ) gerada por o d e 45 .

Para plotar u e v , entre os seguintes comandos no script onde você usou a função o d e 45 :

Na primeira linha, usamos a função p l o t para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de u e v . O primeiro par t , u plota u em função de t . Da mesma maneira, o segundo par t , v plota v em função de t .

Na segunda linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par t , u representa u e o par t , v representa v .

Executando o programa, você terá o gráfico de u e v , para t ∈ [ 0 ,   20 ] .

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