Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Barras Inclinadas

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 22-41.

Os lados A C e C E da escada da figura abaixo têm 2,44 m de comprimento e estão unidos por uma dobradiça no ponto C . A barra horizontal B D tem 0,762   m de comprimento e está na metade da altura da escada. Um homem pesando 854   N sobe 1,80 m ao longo da escada. Supondo que não há atrito com o chão e desprezando a massa da escada, determine:

  1. a tensão da barra
  2. o módulo da força que o chão exerce sobre a escada no ponto A
  3. o módulo da força que o chão exerce sobre a escada no ponto E

( Sugestão: Isole partes da escada ao aplicar as condições de equilíbrio.)

Passo 1

Vamos analisar a figura e montar as equações de equilíbrio. Vamos seguir a sugestão do enunciado e isolar as partes da escada.

F n 1 e F n 2   são as força que o chão exerce em cada parte da escada.

P é o peso do homem que podemos ver pela figura que tem uma distância de L/4 do ponto de contato entre as duas partes.

F v e F h são, respectivamente, a componente vertical e a componente horizontal que um lado da escada exerce no outro.

T é a tração da corda.

Montamos então, o seguinte diagrama:

Lado esquerdo:

Lado direito:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar agora, as equações de equilíbrio.

Aplicacando na parte esquerda:

F y = 0

F v + F n 1 - P = 0

F x = 0

T - F h = 0

τ = 0

Para analisar o torque resultante, vamos escolher o eixo de rotação no encontro entre as duas partes da escada. Vamos dar uma olhada na figura.

Precisamos das distâncias das forças que geram o torque até o eixo de rotação:

d 1 perpendicular a F n 1

d 2 perpendicular a T

d 3 perpendicular a P

Essas são as três forças que geram torque. F h e F v passam pelo eixo e não geram torque.

Por trigonometria, descobrimos os valores de d 1 , d 2 e d 3 em função do ângulo.

d 1 = L c o s θ

De forma, análoga, d 2 = L 2 s e n θ e d 3 = L 4 c o s θ .Agora que temos as distâncias, podemos aplicar a equação do torque, escolhendo o sentido anti-horário como positivo.

τ = 0

- F n 1 L c o s θ + T L 2 s e n θ + P L 4 c o s θ = 0

Passo 3

De forma análoga, podemos aplicar as condições de equilíbrio para o lado direito.

F y = 0

- F v + F n 2 = 0

F x = 0

T - F h = 0

τ = 0

Escolhemos o eixo de rotação no encontro entre as duas partes. A única diferença dessa análise para a que fizemos anteriormente é que agora não temos a força peso do homem.

τ = 0

- F n 2 L c o s θ + T L 2 s e n θ = 0

Passo 4

Montamos 5 equações de equilíbrio!

I )   F v + F n 1 - P = 0

I I )   T - F h = 0

I I I ) - F n 1 L c o s θ + T L 2 s e n θ + P L 4 c o s θ = 0

I V )   - F v + F n 2 = 0

V )   - F n 2 L c o s θ + T L 2 s e n θ = 0

Precisamos resolvê-las para acharmos T , F n 1 e F n 2

Primeiro, manipulamos as equações I   e   I V :

I )   F n 1 = P - F v

I V )   F v = F n 2

V I )   F n 1 = P - F n 2

Show! Agora substituímos F n 1 por P - F n 2 na equação I I I .

V I I ) - P L c o s θ + F n 2 L c o s θ + T L 2 s e n θ + P L 4 c o s θ = 0

Ajeitando a equação V

  - F n 2 L c o s θ + T L 2 s e n θ = 0

V I I I )   F n 2 = T 2 t a n θ

Substituindo F n 2 podemos deixar a equação VII em função de T

T = 3 P 4 t a n θ

Passo 5

Vamos descobrir agora qual o valor do ângulo θ

Para isso, vou montar um triângulo maroto ali. Se liga!

Criei um triângulo retângulo.

A hipotenusa dele vale metade do comprimento de um lado da escada 2,44 2 = 1,22 m

O cateto adjacente vale metade da barra horizontal BD 0,762 2 = 0,381 m

Logo, c o s θ = 0,381 1,22

θ = arccos 0,381 1,22

θ = 71,802 °

Passo 6

OPA!

Agora que descobrimos o ângulo, podemos substituir na equação que encontramos para T .

T = 3 P 4 t a n θ

T = 3 × 854 N 4 t a n 71,802 °

T = 210,46   N

As continhas são chatas, mas é isso aí!

Passo 7

Tá acabando! Falta acharmos F n 1 e F n 2 .

Vou começar por F n 2 .

Vimos lá em cima na equação V I I I que

  F n 2 = T 2 t a n θ

F n 2 = 210,46 2 t a n 71,802 °

F n 2 = 320   N

Para achar F n 1 , vou usar a equação V I lá de cima.

  F n 1 = P - F n 2

F n 1 = 854 - 320 = 534   N

Resposta

  1. T = 210,46   N
  2. 534   N
  3. 320   N

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