Enunciado

Considere uma viga rígida de 2,5 m de comprimento (Figura 12-51), suportada em seu centro no topo de um poste fixo de 1,25 m de altura, podendo pivotar sobre um mancal sem atrito. Uma extremidade da viga está ligada ao chão por uma mola com a constante de força k = 1250 N m . Quando a viga está na horizontal, a mola fica frouxa e na vertical. Se um objeto pendurado na outra extremidade da viga, esta atinge uma posição de equilíbrio formando um ângulo de 17,5° com a horizontal. Qual é a massa do objeto?

Passo 1

Bom, aqui temos uma barra em equilíbrio conectada a uma mola. Quando adicionamos um corpo de massa m ao outro lado da barra, ela vai girar e atingir novamente o equilíbrio.

Vocês podem se perguntar, isso muda alguma coisa? Não ! As condições do equilíbrio também são válidas aqui, ou seja:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Agora vamos desenhar esta situação, colocando as forças que atuam sobre esta placa:

Onde o corpo está pendurado, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g = m . g

Temos a força normal, na direção do nosso eixo de rotação. E a força elástica F → E l á s t i c a exercida pela mola, dada por:

F → E l á s t i c a = k . ∆ l

O eixo x é dado na direção da placa, como podemos ver na figura. Sendo assim, tanto a força peso quanto a elástica formam um ângulo diferente de 90° com a placa. Para conseguir realizar o torque precisamos das forças perpendiculares à placa, neste caso F → g . y e F → E l á s t i c a . y .

Para a Força Peso, usamos a trigonometria para descobrir que o ângulo entre F → g . y   e   F → g vale θ ,   e formam um triângulo retângulo.

Sendo assim:

F → g . y =   F → g . cos ⁡ θ

Esse foi fácil né ?! Mas para a força elástica vai ser um pouco mais confuso. Então vamos com muita calma.

A mola, na posição inicial estava na vertical formando um ângulo de 90° com posição inicial da barra. Quando a mola é esticada, ela se desloca para a esquerda formando um ângulo φ com sua posição inicial. Quando acrescentamos a força na direção y formamos um triângulo obtuso. Amplificando o desenho para a Força elástica:

Pela lei dos senos:

M g s e n   ( 180 - θ 2 ) = F → e . y sen ⁡ φ

Pela identidade:

s e n   180 - θ 2 = s e n   180 . cos ⁡ ( θ 2 ) - c o s   180 . sen  ⁡ ( θ 2 )

Substituímos os valores:

s e n   180 - θ 2 = sen  ⁡ ( θ 2 )

Calma pessoas ! Vamos mexer mais um pouco nesse seno usando outra identidade:

sen ²   ⁡ ( θ 2 ) = 1 + cos ⁡ θ 2

Por trigonometria:

Usando a regra dos cossenos:

L 2 4 = L 2 4 + L 2 . s e n 2 θ 2 - 2 . L 2 L . s e n θ 2 . cos ⁡ θ

Concluímos que:

cos ⁡ θ = s e n θ 2

Substituímos na identidade:

sen ²   ⁡ ( θ 2 ) = 1 + s e n θ 2 2

2 s e n ² θ 2 - s e n θ 2 - 1 = 0

Resolvemos por Báskara:

s e n θ 2 = 1

Escolhemos o valor positivo, já que temos um ângulo agudo.

Ufa ! Agoraa sim vamos conseguir calcular F → e . y :

F → e . y = M g sen ⁡ φ

Beleza! Agora só precisamos fazer o somatório dos torques.

Passo 2

O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação, então para ambas as forças r = L 2 . Quando fazemos isso:

L 2 . F → g . y - L 2 F → e . y = 0

F → g . y = F → e . y

Substituindo F → g . y e F → e . y

F → g . cos ⁡ θ = F → e . sen ⁡ φ

Substituindo F → g e F → e :

m g . cos ⁡ θ =   k . ∆ l . sen ⁡ φ

Isolando m

m = k . ∆ l . sen ⁡ φ g . cos ⁡ θ

A trigonometria nos ajuda a descobrir os catetos do triângulo retângulo, já que temos a hipotenusa e um ângulo:

Então:

φ = t g - 1 L 2 - L 2 . cos ⁡ θ L 2 + L 2 . sen ⁡ θ = t g - 1 1 - cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ

Lembrando que

θ = 17,5 °

φ = 2,04 °

Na equação para a massa:

m = k . ∆ l . sen ⁡ 2,04 ° g . cos ⁡ 17,5 °

Sabendo que

k = 1250 N m

g = 9,8   m / s ²

Nos resta apenas saber quanto a mola se esticou, ∆ l .

Passo 3

Cansativo né?! Mas estamos acabando, só precisamos achar ∆ l , que vai ser:

∆ l = l e s t i c a d o - l f r o u x o

No desenho vemos que   l f r o u x o tem o comprimento da parede:

l f r o u x o = L 2

Pela figura anterior podemos ver que l e s t i c a d o é o lado oposto ao ângulo   180 - θ 2 . Vamos aplicar novamente a Lei dos cossenos no triângulo formado pela mola:

l e s t i c a d o ² = L 2 2 + L . s e n θ 2   2 - 2 L 2 . L . s e n θ 2 .   c o s   180 - θ 2  

Usando a fórmula do cosseno para a diferença de dois ângulos:

s e n   180 - θ 2 = c o s   180 . cos ⁡ ( θ 2 ) + s e n   180 . sen  ⁡ ( θ 2 )

c o s   180 - θ 2 = - c o s   θ 2

l e s t i c a d o ² = L 2 4   + L ² . s e n ² θ 2 + L ² . s e n θ 2 .   c o s   θ 2

Lembrando de duas identidades:

s e n θ 2 .   c o s   θ 2 = s e n   θ 2  

s e n ² θ 2 = 1 - cos ⁡ θ 2

Substituímos:

l e s t i c a d o ² = L 2 4   + L ² . 1 - cos ⁡ θ 2 + L ² . s e n   θ 2

Sabendo que

θ = 17,5 °

L = 2,5   m

l e s t i c a d o ² = 2,5 2 4   + 2,5 ² . 1 - cos ⁡ ( 17,5 ° ) 2 + 2,5 ² . s e n   ( 17,5 ° ) 2 = 2,6468   m

l e s t i c a d o = 1,6269 m

∆ l = 1,6269 - 2,5 2 = 0,3769   m

Calma que não acabou...

Passo 4

Agora que temos todos os valores, vamos colocar na massa:

m = 1250 N m . 0,3769   m . sen ⁡ 2,04 ° 9,8   m / s ² . cos ⁡ 17,5 ° = 1,8   k g

Resposta

m = 1,8   k g

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