Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Pilhas de Tijolos

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 12, pp 25-75

Quatro tijolos iguais e uniformes, de comprimento L, estão empilhados em uma mesa de duas formas como mostra a figura abaixo. Estamos interessados em maximizar a distância h nas duas configurações. Determine as distâncias ótimas a 1 , a 2 , b 1 e b 2 e calcule h para os dois arranjos.

Passo 1

Vamos analisar primeiro o valor de a 1 .

Percebemos que o valor máximo de a 1 é no ponto em que o centro de massa do bloco da direita corta o eixo de rotação.

Repare que se a 1 fosse maior do que isso, os blocos não ficariam em equilíbrio e tenderiam a rotacionar.

Logo, precisamos saber o centro de massa do bloco da direita. Como é um bloco uniforme, seu centro de massa é L 2 .

a 1 = L 2

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Passo 2

Vamos analisar o a 2 agora.

A situação é a seguinte

Como no item anterior, precisamos achar o centro de massa dos quatro blocos juntos para descobrirmos o valor máximo de a 2 .

Podemos definir o eixo passando pela força P → do bloco da direita com seu eixo x positivo orientado para a esquerda.

Podemos agora aplicar a fórmula de centro de massa.

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

∑ i m i = 4 M , sendo M a massa de cada tijolo.

O momento gerado por P → da direita é nulo, já que passa pelo eixo.

Resta então o momento de 2 P → e o momento do bloco do meio

∑ i ( r → i m i ) = M L 2 + 2 M L = 5 M L 2

R → c m = 5 M L 2 x 1 4 M = 5 L 8

Como 5 L 8 é o centro de massa dos quatro blocos de cima, a 2 m á x i m o = 5 L 8 . Perceba que se a 2 fosse maior que isso, a força concentrada dos quatro blocos estaria à direita do eixo de rotação e geraria torque nos blocos.

Passo 3

h para o caso 1 será dado pela soma de a 1 com a 2

h = L 2 + 5 L 8 = 9 L 8

Passo 4

Vamos analisar agora a situação b. Seguiremos a mesma lógica apresentada anteriormente.

Como é simétrico, podemos achar o centro de massa dos dois blocos da direita e assim descobrirmos o valor máximo de b 1 .

Dividimos o peso do bloco do topo em duas forças para baixo, que na situação extrema se encontram na quina dos blocos do meio com valor de P → 2 como mostra a figura. Repare que é a situação em que o centro de massa será mais distante da extremidade direita, o que nos dará o b 1 máximo.

Agora, precisamos achar o ponto de centro de massa dos dois blocos.

Podemos definir o eixo passando pela extremidade do bloco da direita com seu eixo x positivo orientado para a esquerda.

Podemos agora aplicar a fórmula de centro de massa.

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

∑ i m i = M + M 2 = 3 M 2 , sendo M a massa de cada tijolo.

Resta então o momento de P → 2 e o momento do bloco da direita

∑ i ( r → i m i ) = M L 2 + M L 2 = M L

R → c m = M L   x 2 3 M = 2 L 3

Como 2 L 3 é o centro de massa dos dois blocos (de cima e da direita), b 1 m á x i m o = 2 L 3 . Perceba que se b 1 fosse maior que isso, a força concentrada dos dois blocos estaria à direita do eixo de rotação e geraria torque nos blocos.

Passo 5

Vamos analisar agora b 2 .

Precisamos, da mesma forma, achar o ponto do centro de massa do quatro blocos juntos. Esse será o valor máximo de b 2 .

Pela simetria, é possível perceber que o centro de massa passa justamente no meio do bloco de baixo. Logo, b 2 = L 2 .

Perceba que se b 2 fosse maior, os blocos tenderiam a girar para o lado direito e não estaria em equilíbrio estático.

Logo, o valor máximo de b 2 é justamente L 2 .

Passo 6

Falta agora só calcular h que é a soma de b 1 e b 2 .

h = 2 L 3 + L 2 = 7 L 6

Resposta

a 1 = L 2

a 2 = 5 L 8

h a = 9 L 8

b 1 = 2 L 3

b 2 = L 2

h b 7 L 6

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