Exercícios Resolvidos de Escoamento em meios porosos

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Enunciado

Determinar os valores da permeabilidade e do fator C a partir dos dados experimentais obtidos por permeametria.

Meio de areia artificialmente consolidado com 5 % de araldite.

  • Granulometria da areia: - 14 + 20   # T y l e r
  • Fluido: água ( ρ = 1   g / c m 3 e   μ = 1,18   c P )
  • Comprimento do meio: 2,1   c m
  • Área da seção de escoamento: 16,8   c m 2
  • Porosidade do meio: ε = 0,37
  • Dados de velocidade superficial e queda de pressão:

Passo 1

O enunciado nos deu dados experimentais de Δ P   v e r s u s   q e pediu pra calcularmos COM BASE NOS DADOS EXPERIMENTAIS os valores de K (permeabilidade) e C (fator sem nome).

Como vamos ter que usar os dados experimentais, temos que partir da equação do movimento para relacionar Δ P e q ; esse desenvolvimento eu já fiz pra você lá na teoria, então vou pular, ok? Só temos que identificar qual caso aplicar.

Já que o fluido é água, podemos assumir fluido incompressível; e como o enunciado NÃO fala que o escoamento é lento, NÃO podemos assumir isso e, por isso, usamos a equação de Forchheimer para M → . Daí vale:

1 q Δ P L = μ K + C ρ K q

Depois de identificado o caso, é só fazer regressão linear com os dados:

Temos que nos atentar se estamos usando tudo no mesmo sistema de unidades; vou adotar o CGS, daí vou converter logo μ e Δ P . No caso do Δ P , vou primeiro chegar numa expressão geral pra conversão e depois converto todos.

μ = 1,18   c P = 1,18 . 10 - 2   P

Δ P   d i n a c m 2 = Δ P   c m H g . 6895 N m 2 5,171   c m H g . 10 d i n a c m 2 1   N m 2 = 13334 . Δ P   c m H g

Daí, em d i n a / c m 2 :

Ah! Na teoria, eu defini Δ P = P 0 - P L e, dessa forma, fica positivo. Nessa questão, ele definiu de forma que ficava negativa e por isso colocou um menos na tabela, pra deixar positivo; então definiu P L - P 0 . Daí o - d e l t a   P da tabela original é o mesmo que o meu d e l t a   P .

Passo 2

Agora é só fazer a regressão linear com os dados fornecidos; comparando a equação de trabalho com a equação de uma reta:

Y = A . X + B

Temos que:

Y =   1 q Δ P L A = C ρ K X = q B = μ K

Adicionando uma linha para Y na nossa tabela e usando L = 2,1   c m :

Fazendo a regressão linear Y   v e r u s   X :

Daí:

469,69 = C ρ K 1719 = μ K

Na primeira equação não conhecemos duas variáveis; na segunda, uma. Então começamos pela segunda.

1719 = μ K = 1,18 . 10 - 2 K

K = 6,86 . 10 - 6   c m 2

Da primeira:

469,6 = C ρ K = C . 1 6,86 . 10 - 6

C = 1,23

Repara que nem usamos algumas informações.

Resposta

K = 6,86 . 10 - 6   c m 2

C = 1,23