Exercícios Resolvidos de Escoamento em meios porosos

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Enunciado

Determinar os valores da permeabilidade e do fator C a partir dos dados experimentais obtidos por permeametria.

Meio não consolidado de areia

  • Granulometria da areia: - 35 + 48   # T y l e r
  • Fluido: ar a 25 ℃ e pressão atmosférica na descarga
  • Comprimento do meio: 33,4   c m
  • Área da seção de escoamento: 5,57   c m 2
  • Porosidade do meio: ε = 0,44
  • Dados de velocidade mássica e queda de pressão:

Passo 1

O enunciado nos deu dados experimentais de Δ P   v e r s u s   G e pediu pra calcularmos COM BASE NOS DADOS EXPERIMENTAIS os valores de K (permeabilidade) e C (fator sem nome).

Como vamos ter que usar os dados experimentais, temos que partir da equação do movimento para relacionar Δ P e G ; esse desenvolvimento eu já fiz pra você lá na teoria, então vou pular, ok? Só temos que identificar qual caso aplicar.

Como o fluido é ar, o fluido é compressível; e como o enunciado NÃO fala que o escoamento é lento, NÃO podemos assumir isso e, por isso, usamos a equação de Forchheimer para M → . Daí vale:

ρ - G . Δ P L = μ K + C K G

Depois de identificado o caso, é só fazer regressão linear com os dados:

Temos que nos atentar se estamos usando tudo no mesmo sistema de unidades; vou adotar o CGS; cuidado com a unidade desse Δ P aí porque ela pode confundir. Embora tenha um c m na unidade, c m   d e   á g u a NÃO está no CGS; pra pressão, a unidade do CGS é d i n a / c m 2 . Daí vou converter logo Δ P ; vou primeiro chegar numa expressão geral pra conversão e depois converto todos.

Δ P   d i n a c m 2 = Δ P   c m   d e   á g u a . 1   m 100   c m . 1,013 . 10 5   N m 2 10,33   m   d e   á g u a . 10   d i n a c m 2 1   N m 2 = 980,7 . ∆ P   c m   d e   á g u a

Massss, para fluido compressível, não basta saber o ∆ P ; como temos que calcular ρ - , já que ele aparece na fórmula a se fazer regressão linear, e a fórmula dele é:

ρ - = P M - R T . P 0 + P L 2

Precisamos de P 0   e   P L . O segundo já foi dado, só precisamos passar pro CGS:

P L = 1   a t m . 10 d i n a c m 2 9,868 . 10 - 6   a t m   = 1013376,6   d i n a c m 2

P 0 , como:

Δ P = P 0 - P L

P 0 = Δ P + P L

P 0 = Δ P + 1013376,6  

Calculando em cada ponto:

Passo 2

Antes de fazermos a regressão linear, precisamos calcular ρ - para cada caso.

ρ - = P M - R T . P 0 + P L 2

ρ - = P M - R T . P 0 + 1013376,6 2

Para calcular ρ - ,precisamos da temperatura em escala absoluta; vou passa-la pra Kelvin.

T = 293   K

Como estamos trabalhando no CGS, usamos:

R = 8,31 . 10 7 e r g M o l . K

Por se tratar de ar atmosférico, P M - ≈ 29   g / g m o l . Daí:

ρ - = 29 8,31 . 10 7   .   293 . P 0 + 1013376,6 2

ρ - = 5,96 . 10 - 10 . P 0 + 1013376,6 g c m 2

Passo 3

Agora que temos tudo que precisamos, podemos fazer a regressão linear:

Comparando a equação de trabalho com a equação de uma reta, Y = B + A X :

ρ - G . Δ P L = μ K + C K G

Y =   ρ - G . Δ P L A = C K X = G B = μ K

Daí:

C K = 655,53

μ K = 141

Antes de continuarmos, precisamos do μ . Indo atrás de algum valor tabelado, achamos que para o ar nas condições do problema, μ = 1,8 . 10 - 4   P . Daí:

μ K = 1,8 . 10 - 4 K = 141

K = 1,28 . 10 - 6   c m 2

Da outra equação:

C K = C 1,28 . 10 - 6 = 655,53

C = 0,74

Resposta

K = 1,28 . 10 - 6   c m 2

C = 0,74