Exercícios Resolvidos de Escoamento

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Enunciado

Utilize agora equações de conservação para descrever o movimento de uma partícula em um fluido em movimento no sentido positivo do eixo x. Sabe-se que a gravidade aponta para baixo e perpendicular ao movimento do fluido.

Passo 1

Já vimos no exercício anterior que “para os lados” do movimento do fluido a partícula não se movimenta, ou seja, todo o movimento da partícula está concentrado nos eixos x e y, conforme definido abaixo:

Daí, nem vou me preocupar com esse “terceiro” eixo. A partícula apenas apresenta velocidade nos eixos x e y.

Como o enunciado pede pra usarmos equações de conservação pra descrever o movimento, entra a matemática. Vamos precisar usar a equação do movimento da partícula:

m * d v → d t = V * ρ S - ρ * b → + A 2 * ρ * C D * u → - v → * ( u → - v → )

Repara que já coloquei b → = g → , já que o único campo de forças atuando é o gravitacional.

Como há movimento em dois eixos, abrimos essa equação para os dois eixos, x e y:

m * d v x → d t = V * ρ S - ρ * g x → + A 2 * ρ * C D * u → - v → * ( u x → - v x → )

m * d v y → d t = V * ρ S - ρ * g y → + A 2 * ρ * C D * u → - v → * ( u y → - v y → )

Passo 2

Com as hipóteses de:

  1. Escoamento unidimensional do fluido
  2. Desprezando a fase transiente do movimento da partícula

Vamos simplificar as equações:

Dessa forma, ficamos com:

A 2 * ρ * C D * u → - v → * u x → - v x → = 0

V * ρ S - ρ * g y → - A 2 * ρ * C D * u → - v → * v y → = 0

Olhando pra primeira equação, como vimos na na teoria, essa multiplicação só pode ser zero se

u x → = v x →

Já que sabemos que u → ≠ v → já que igualdade de vetores implicaria igualdade de módulo, direção e sentido, e sabemos (até pelo desenho mesmo) que isso não ocorre; esses dois vetores NÃO têm mesmas direção e sentido.

Então, já provamos que na direção do escoamento, fluido e partícula caminham com a mesma velocidade: u x → = v x →

Passo 3

Olhando para a segunda equação que chegamos:

V * ρ S - ρ * g y → - A 2 * ρ * C D * u → - v → * v y → = 0

Calculando o esse módulo que aparece:

u → - v → = u x - v x 2 + u y - v y 2 2

E já sabemos que u x = v x daí  

( u x - v x ) = 0

Além disso, u y = 0 , já que o fluido apenas se movimento no eixo x. Portanto:

u → - v → = 0 2 + 0 - v y 2 2 = ( - v y ) 2 2 = v y 2 2 = v y

Agora, substituindo u → - v → por v y na segunda equação e o isolando:

v y = 2 V ρ S - ρ g A ρ C D 2 = v t

Já igualei à v t   pois esta é a expressão que achamos pra velocidade terminal de partícula sedimentando em fluido parado, com b → = g → ,lá no tópico de velocidade terminal. Ou seja, provamos que na direção do campo, a partícula caminha com velocidade terminal:

v y = v t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)