Exercícios Resolvidos de Escoamento

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Enunciado

Utilize equações de conservação para descrever o movimento de uma partícula confinada em um recipiente em rotação. Considere que o campo centrífugo é bem maior do que o campo gravitacional e que a velocidade angular do recipiente é constante.

Passo 1

É a mesma coisa do exercício anterior, mas agora temos que usar equações de conservação para chegar nas mesmas conclusões.

O enunciado fala pra considerar que campo centrífugo é bem maior do que o campo gravitacional, daí, é como se o campo gravitacional nem existisse, podemos desprezá-lo. E, pela geometria do problema, é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas.

Lembrando as componentes de u → e b → :

u →   u r = z e r o u θ = Ω * r

b →   b r = v θ 2 r b θ = z e r o

Repara que eu ignorei as componentes em Z porque sabemos que não há nenhuma força motriz para movimento nesse eixo.

Como o enunciado pede pra usarmos equação de conservação, vamos usar a equação do movimento:

m * d v → d t = V * ρ S - ρ * b → + A 2 * ρ * C D * u → - v → * ( u → - v → )

E como há movimento em dois eixos, vamos ter que avaliar essa equação para cada um dos eixos.

Para o movimento angular:

m * d v θ → d t = V * ρ S - ρ * b θ → + A 2 * ρ * C D * u θ → - v θ → * ( u → θ - v θ → )

Já para o movimento na direção radial, do campo:

m * d v → r d t = V * ρ S - ρ * b r → + A 2 * ρ * C D * u r → - v → r * ( u → r - v r → )

Passo 2

Desprezando a fase transiente do movimento (já que é muito rápida), podemos cortar as derivadas no tempo.

Além disso, sabemos que o campo centrífugo é apenas radial então podemos dizer que:

b θ → = 0 →

E, considerando que o movimento do fluido é unidirecional, apenas angular:

u r → = 0 →

Dessa forma, as equações ficam:

Da primeira tiramos que u θ = v θ , ou seja, na direção do movimento do fluido, a partícula se move com a mesma velocidade que o fluido. Uma parte do movimento já provamos.

Para avaliar a segunda, precisamos do valor de u → - v → :

u → - v → = u θ - v θ 2 + u r - v r 2 2

u → - v → = 0 2 + 0 - v r 2 2 = v r

Voltando com isso pra equação do movimento no eixo radial:

A 2 ρ C D v r 2 = V ( ρ S - ρ ) Ω 2 r

v r = 2 V ( ρ S - ρ ) Ω 2 r A ρ C D 2 = v t

Já igualei essa raiz à velocidade terminal pois, como vimos, essa é a expressão para

velocidade terminal com campo centrífugo, b → = Ω 2 r . Ou seja, achamos que na direção do campo:

v r = v t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)