Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

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Enunciado

Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é:

u U ∞ = 3 2 . y δ - 1 2 . y δ 3

Essa expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie   δ * δ e θ δ .

Passo 1

Neste exercício, nós já temos o perfil de velocidades descrito e o enunciado pede para só conferirmos as condições de contorno. Mais tranquilo que o exercício anterior, não é mesmo?

Além disso, temos que avaliar as razões das espessuras de deslocamento ( δ * ) e de quantidade de movimento ( θ ) sobre a espessura de perturbação ( δ ).

Então, vamos começar pelo mais simples: avaliar a coerência do perfil de velocidades proposto!

Lembre-se de que, na camada-limite, a velocidade do fluido em contato com a superfície é zero (condição de não-deslizamento):

u 0 U ∞ = 3 2 . 0 δ - 1 2 . 0 δ 3

u 0 = 0

Certinho! Agora, na região mais afastada, a tensão de cisalhamento é nula ( τ y = δ = 0 ):

d   u y d y = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 1 2 . y 2 δ 3

d   u y d y y = δ = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 3 2 . δ 2 δ 3

d   u y d y y = δ = 0

É, até que esse cara sabe fazer bem um perfil, tudo certinho! ^^

Passo 2

Agora, vamos aplicar as definições que vimos de espessura de camada-limite!

Antes de começar, vamos propor uma troca de variável, tal que η = y δ . Mas por que isso? Dê uma olhadinha no perfil de velocidades do enunciado. Não ficaria bem mais limpo e organizado se trocássemos todas as razões y δ por η ? Então, é isso que vamos fazer! ^^

Assim, ficamos com:

u η U ∞ = 3 2 . η - 1 2 . η 3

Bem melhor, não? Isso facilitará nossa vida adiante!

Para a espessura de deslocamento ( δ * ):

δ * δ = 1 δ . ∫ 0 ∞ 1 - u y U ∞ d y

Como δ é uma constante, podemos passar ela para dentro da derivada e ficamos com:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ . 1 δ d y

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ d y δ

Olha só, aparece aquela nossa nova variável η . Então, vamos reescrever em função dela:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u η U ∞ d η

Note que o limite de integração superior também muda, pois, se y = δ , então η = 1 e, se y = 0 , então η = 0 .

Substituindo a expressão do perfil de velocidades, temos:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - 3 2 η - 1 2 η 3 d η

Ao integrarmos:

δ * δ = η - 3 4 η 2 - 1 8 η 4 0 1

Logo:

δ * δ = 1 - 3 4 - 1 8 - 0 = 3 8

δ * δ = 0,375

Passo 3

Analogamente, para a espessura de quantidade de movimento ( θ ):

θ δ = 1 δ . ∫ 0 δ u y U ∞ . 1 - u y U ∞ d y

Fazendo a mudança de variáveis, temos:

θ δ = ∫ 0 1 u η U ∞ . 1 - u η U ∞ d η

θ δ = ∫ 0 1 u η U ∞ . 1 - u η U ∞ d η

Ao substituirmos a expressão do perfil:

θ δ = ∫ 0 1 3 2 . η - 1 2 . η 3 . 1 - 3 2 . η - 1 2 . η 3 d η

θ δ = ∫ 0 1 3 2 . η - 9 4 . η 2 - 1 2 . η 3 + 3 2 . η 4 - 1 4 . η 6 d η

θ δ = 3 4 . η 2 - 3 4 . η 3 - 1 8 . η 4 + 3 10 . η 5 - 1 28 . η 7 0 1

Logo:

θ δ = 3 4 - 3 4 - 1 8 + 3 10 - 1 28 - 0 = 39 280 = 0,139

Resposta

Sim, o perfil proposto satisfaz as condições de contorno! E as razões entres as diferentes espessuras de camada-limite são dadas abaixo:

δ * δ = 3 8 = 0,375

e

θ δ = 39 280 = 0,139

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