Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

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Enunciado

Um fluido de massa, específica ρ = 800   k g / m 3 , escoa a   U = 3   m / s sobre uma placa plana de 3   m de comprimento e 1   m de largura. Na borda de fuga, a espessura da camada-limite é δ = 25   m m . Considere que o perfil de velocidade é linear, conforme mostrado, e que o escoamento é bidimensional (as condições de escoamento são independentes de z ). Usando o volume de controle a b c d , mostrado por linhas tracejadas:

( a ) Calcule a vazão através da superfície a b .

( b ) Determine a força de arrasto sobre a superfície superior da placa.

Passo 1

Vamos inicialmente organizar nossos objetivos! O enunciado nos pede 2 coisas: a vazão de fluido através da superfície a b e a força de arrasto sobre a superfície.

O cálculo da vazão é feito pelo balanço de massa que já vimos anteriormente no tópico de Forma Integral do Volume de Controle:

∂ ∂ t ∫ V C ρ . d V + ∫ S C ρ . V → . d A → = 0

Note que precisaremos do perfil de velocidades u y para calcular a vazão, mas qual é sua expressão?

O enunciado nos diz que o perfil é linear, logo é do tipo:

u y = A . y + B

Lembra das condições de contorno? Então, sabemos que a velocidade é nula em y = 0 e que equivale a U em y = δ . Portanto:

u 0 = 0

A . 0 + B = 0

B = 0

E ainda:

u δ = U

A . δ + 0 = U

A = U δ

Pronto! Temos que o perfil de velocidades é dado por:

u y = U . y δ

Podemos reescrevê-lo com a variável η :

u y = U . η

Passo 2

Considerando o retângulo a b c d como volume de controle (VC) e que o problema está no estado estacionário (propriedades não variam no tempo), podemos escrever:

∫ S C ρ . V → . d A → = 0

∫ S a d ρ . V → . d A → + ∫ S a b ρ . V → . d A → + ∫ S b c ρ . V → . d A → + ∫ S c d ρ . V → . d A → = 0

∫ S a d ρ . V → . d A → + ∫ S b c ρ . V → . d A → + m ˙ a b = 0

∫ 0 δ ρ .   U . d ( w . y ) - ∫ 0 δ ρ .   u y . d w . y - m ˙ a b = 0

Como são ρ ,   w e U são constantes, podem sair das derivadas e integrais:

ρ .   U . w ∫ 0 δ d y - ρ . w . ∫ 0 δ u y . d y - m ˙ a b = 0

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - 0 - ρ . w . ∫ 0 δ u y . d y

Substituindo a expressão do perfil de velocidades que encontramos:

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . ∫ 0 δ U . η . d y

Pela mudança de variável, temos:

η = y δ               y = η . δ

Logo:

d y = δ . d η

Substituindo na integral:

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . ∫ 0 1 U . η . ( δ . d η )

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . U . δ . η 2 2 0 1

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - 1 2 . ρ . U . w . δ

m ˙ a b = 1 2 . 800 k g . m - 3 . 3 m . s - 1 . 1 m . 0,025 m

m ˙ a b = 30   k g . s - 1

Passo 3

Vamos agora concluir nosso segundo objetivo: determinar a força de arrasto que a superfície da placa sofre devido ao escoamento do fluido.

Se antes utilizamos o balanço de massa para encontrar a vazão, agora, como queremos encontrar uma força, utilizaremos o balanço de momento:

F → r e s = F → S + F → B = ∂ ∂ t ∫ V C ρ . V → . d V + ∫ S C V → . ρ . V → . d A →

Como assumimos estado estacionário e o volume de controle não se move simultaneamente ao fluido ( F → r e s = 0 ):

∫ S a d V → . ρ . V → . d A → + ∫ S a b V → . ρ . V → . d A → + ∫ S b c V → . ρ . V → . d A → + F a r r a s t o , x = 0

- F a r r a s t o , x + ∫ 0 δ U . - ρ .   U . d ( w . y ) + m ˙ a b . U + ∫ 0 δ u y . ρ .   u y . d ( w . y ) = 0

- F a r r a s t o , x + U . - ρ .   U . w . ∫ 0 δ d y + m ˙ a b . U + ρ . w . ∫ 0 1 U . η 2 . ( δ . d η ) = 0

F a r r a s t o , x = - ρ .   U 2 . w . δ + m ˙ a b . U + ρ . w . U 2 . δ ∫ 0 1 η 2 . d η

F a r r a s t o , x = - ρ .   U 2 . w . δ + m ˙ a b . U + 1 3 . ρ . U 2 . w . δ

F a r r a s t o , x = - 2 3 . 800 k g . m - 3 . 3 m . s - 1 2 . 1 m . 0,025 m + ( 30   k g . s - 1 ) . 3 m . s - 1

F a r r a s t o , x = - 30   N

Resposta

m ˙ a b = 30   k g . s - 1

e

F a r r a s t o , x = - 30   N

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