Espessura de Camada-Limite

Teoria Completa

De que maneira você delimitaria o “tamanho” da camada-limite? Em que altura a velocidade pode ser considerada constante ( U ∞ )?

Pra gente definir em que ponto isso ocorre, surgem as definições de espessura de camada-limite. Elas têm o objetivo de quantificar o “tamanho” dessa região e podem ser classificadas basicamente em três tipos: espessura de perturbação ( δ ), de deslocamento ( δ * ) e de quantidade de movimento ( θ ). Bora dar uma olhada em cada uma delas!

Espessura de Perturbação ( δ )

Essa é a definição mais simples e, por isso, a mais usada. Ela define que a camada-limite termina na distância da superfície, onde a velocidade do fluido equivale a 99 % da velocidade de corrente livre ( U ∞ ):

u y = δ = 0,99 · U ∞

Você poderia pensar: “Por que eu não defino a espessura como sendo a distância na qual a velocidade é exatamente igual a U ∞ ?”.

Seria bem bacana, não é mesmo? Mas lembre-se de que a velocidade se aproxima assintoticamente de U ∞ , ou seja, ela chega perto de U ∞ , mas nunca é exatamente esse valor. Então, nós precisamos estabelecer um critério que seja real, por isso o “99%”. :)

Espessura de Deslocamento ( δ * )

Ela representa a distância da qual a superfície deveria ser deslocada para uma corrente com perfil de velocidades uniforme (invíscida) produzir o mesmo escoamento volumétrico que o escoamento real do fluido.

Calma, pequeno gafanhoto! Ahah Bora entender isso juntos! A gente sabe que o perfil de velocidade tem aquela cara bem famosa, com o gradiente u y :

Imagina que a gente tá interessado em calcular a vazão num duto de seção quadrada (4 placas planas unidas). Sabemos que a vazão volumétrica pode ser escrita como o produto da velocidade pela área transversal ao escoamento:

( v a z ã o   v o l u m é t r i c a )   = ( v e l o c i d a d e ) . á r e a

Para um elemento infinitesimal, temos que:

d Q = u y . d A

Integrando a expressão de y = 0 até y → ∞ :

Q = ∫ 0 ∞ u y   d A

Mas é bem chato trabalhar com essa função u y nas nossas contas. Não seria bem mais fácil se a velocidade fosse sempre constante e saísse da integral? Pois é! Não é que arrumaram um jeitinho de fazer isso!?

A gente tem uma quantidade definida de fluido que passa através de uma região (vazão volumétrica). A ideia da espessura de deslocamento é propor um perfil de velocidades constante, mas que tenha a mesma vazão volumétrica que o perfil observado no escoamento real (com o gradiente de velocidades).

Imagine, por exemplo, que o duto quadrado tem 300   m m de lado e que um fluido vai entrar nele com uma velocidade de U ∞ = 26   m . s - 1 . Se eu te disser que em determinado ponto, a espessura de deslocamento equivale a δ * = 2,0   m m , no que isso facilita sua vida?

Isso significa que resolver esse problema com aquele perfil chato u y num duto de lado L dá no mesmo que resolver um problema em que o duto de lado “ L - 2 . δ * ” com o perfil uniforme ( U ∞ ). Ou seja, a gente desloca o início do perfil em δ * em cada uma das placas. D

Dá uma olhada na imagem aqui pra ver como fica:

Então no nosso caso, se quiséssemos calcular a vazão nesse ponto por exemplo, ao invés de usar o duto com lado L = 30   m m e o perfil de velocidades real ( a ), vamos usar um duto de lado L - 2 . δ * = 26   m m com o perfil uniforme hipotético ( b ):

Bem mais fácil, não? :) Então, já sabe! Se já tiver informação da espessura de deslocamento ( δ * ) fica fácil!

Para que a gente garanta que o escoamento volumétrico com o perfil uniforme ( U ∞ ) seja o mesmo que com o perfil real ( u y ), podemos igualar a vazão de um com a de outro:

  v a z ã o   v o l u m é t r i c a c o m   p e r f i l   r e a l = v a z ã o   v o l u m é t r i c a c o m   p e r f i l   u n i f o r m e

∫ 0 ∞ u y . w . d y = ∫ δ * ∞ U ∞ . w . d y

Após alguns “algebrismos”, chegamos à definição matemática da espessura de deslocamento:

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u y U ∞ d y = ~ ∫ 0 δ * 1 - u y U ∞ d y

Espessura de Quantidade de Movimento ( θ )

Representa a distância da qual a superfície deveria ser deslocada para uma corrente com perfil de velocidades uniforme (invíscida) produzir o mesmo momento linear que o escoamento real do fluido.

Agora não assusta mais! É parecido com a anterior. A ideia da espessura de quantidade de movimento é propor um perfil de velocidades uniforme (velocidades constantes), mas que tenha o mesmo momento linear (quantidade de movimento).

Sabemos que o momento linear pode ser escrito como sendo o produto da densidade pelo quadrado da velocidade:

( m o m e n t o   l i n e a r )   = ( m a s s a ) . v e l o c i d a d e ²

Para um elemento infinitesimal, temos que:

d p = ρ . u y ² . d A

Integrando a expressão de y = 0 até y → ∞ :

p = ∫ 0 ∞ ρ . u y 2   d A

p = ∫ 0 ∞ ρ . u y 2   d A = ∫ θ ∞ ρ . ( U ∞ ) 2 . w   d y

Lembra que igualamos as expressões de vazão volumétrica no caso da espessura de deslocamento? Pois é, na espessura de quantidade de movimento, vamos igualar as expressões de momento linear:

  m o m e n t o   l i n e a r c o m   p e r f i l   r e a l = m o m e n t o   l i n e a r c o m   p e r f i l   u n i f o r m e

∫ 0 ∞ ρ . [ u y ] 2 . w   d y = ∫ θ ∞ ρ . ( U ∞ ) 2 . w   d y

De maneira semelhante ao que vimos para a espessura de deslocamento, chegamos à definição matemática da espessura de quantidade de movimento:

θ = ∫ 0 ∞ u y U ∞ · 1 - u y U ∞ d y = ~ ∫ 0 δ u y U ∞ · 1 - u y U ∞ d y

Na prática, funciona da mesma forma que a de deslocamento, só que com um critério diferente: mesmo momento linear e não vazão volumétrica!

Craques em camada-limite agora? Vamos exercitar? Então, responde aí! ^^

Expandir

Exercício Resolvido #1

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P.J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é:

u U ∞ = 3 2 . y δ - 1 2 . y δ 3

Essa expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie   δ * δ e θ δ .

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Passo 1

Neste exercício, nós já temos o perfil de velocidades descrito e o enunciado pede para só conferirmos as condições de contorno. Mais tranquilo que o exercício anterior, não é mesmo?

Além disso, temos que avaliar as razões das espessuras de deslocamento ( δ * ) e de quantidade de movimento ( θ ) sobre a espessura de perturbação ( δ ).

Então, vamos começar pelo mais simples: avaliar a coerência do perfil de velocidades proposto!

Lembre-se de que, na camada-limite, a velocidade do fluido em contato com a superfície é zero (condição de não-deslizamento):

u 0 U ∞ = 3 2 . 0 δ - 1 2 . 0 δ 3

u 0 = 0

Certinho! Agora, na região mais afastada, a tensão de cisalhamento é nula ( τ y = δ = 0 ):

d   u y d x = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 1 2 . y 2 δ 3

d   u y d x y = δ = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 3 2 . δ 2 δ 3

d   u y d x y = δ = 0

É, até que esse cara sabe fazer bem um perfil, tudo certinho! ^^

Passo 2

Agora, vamos aplicar as definições que vimos de espessura de camada-limite!

Antes de começar, vamos propor uma troca de variável, tal que η = y δ . Mas por que isso? Dê uma olhadinha no perfil de velocidades do enunciado. Não ficaria bem mais limpo e organizado se trocássemos todas as razões y δ por η ? Então, é isso que vamos fazer! ^^

Assim, ficamos com:

u η U ∞ = 3 2 . η - 1 2 . η 3

Bem melhor, não? Isso facilitará nossa vida adiante!

Para a espessura de deslocamento ( δ * ):

δ * δ = 1 δ . ∫ 0 ∞ 1 - u y U ∞ d y

Como δ é uma constante, podemos passar ela para dentro da derivada e ficamos com:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ . 1 δ d y

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ d y δ

Olha só, aparece aquela nossa nova variável η . Então, vamos reescrever em função dela:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u η U ∞ d η

Note que o limite de integração superior também muda, pois, se y = δ , então η = 1 e, se y = 0 , então η = 0 .

Substituindo a expressão do perfil de velocidades, temos:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - 3 2 η - 1 2 η 3 d η

Ao integrarmos:

δ * δ = η - 3 4 η 2 - 1 8 η 4 0 1

Logo:

δ * δ = 1 - 3 4 - 1 8 - 0 = 3 8

δ * δ = 0,375

Passo 3

Analogamente, para a espessura de quantidade de movimento ( θ ):

θ δ = 1 δ . ∫ 0 δ u y U ∞ . 1 - u y U ∞ d y