Espessura de Camada-Limite

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Teoria

De que maneira você delimitaria o “tamanho” da camada-limite? Em que altura a velocidade pode ser considerada constante ( U ∞ )?

Pra gente definir em que ponto isso ocorre, surgem as definições de espessura de camada-limite. Elas têm o objetivo de quantificar o “tamanho” dessa região e podem ser classificadas basicamente em três tipos: espessura de perturbação ( δ ), de deslocamento ( δ * ) e de quantidade de movimento ( θ ). Bora dar uma olhada em cada uma delas!

Espessura de Perturbação ( δ )

Essa é a definição mais simples e, por isso, a mais usada. Ela define que a camada-limite termina na distância da superfície, onde a velocidade do fluido equivale a 99 % da velocidade de corrente livre ( U ∞ ):

u y = δ = 0,99 · U ∞

Você poderia pensar: “Por que eu não defino a espessura como sendo a distância na qual a velocidade é exatamente igual a U ∞ ?”.

Seria bem bacana, não é mesmo? Mas lembre-se de que a velocidade se aproxima assintoticamente de U ∞ , ou seja, ela chega perto de U ∞ , mas nunca é exatamente esse valor. Então, nós precisamos estabelecer um critério que seja real, por isso o “99%”. :)

Espessura de Deslocamento ( δ * )

Ela representa a distância da qual a superfície deveria ser deslocada para uma corrente com perfil de velocidades uniforme (invíscida) produzir o mesmo escoamento volumétrico que o escoamento real do fluido.

Calma, pequeno gafanhoto! Ahah Bora entender isso juntos! A gente sabe que o perfil de velocidade tem aquela cara bem famosa, com o gradiente u y :

Imagina que a gente tá interessado em calcular a vazão num duto de seção quadrada (4 placas planas unidas). Sabemos que a vazão volumétrica pode ser escrita como o produto da velocidade pela área transversal ao escoamento:

( v a z ã o   v o l u m é t r i c a )   = ( v e l o c i d a d e ) . á r e a

Para um elemento infinitesimal, temos que:

d Q = u y . d A

Integrando a expressão de y = 0 até y → ∞ :

Q = ∫ 0 ∞ u y   d A

Mas é bem chato trabalhar com essa função u y nas nossas contas. Não seria bem mais fácil se a velocidade fosse sempre constante e saísse da integral? Pois é! Não é que arrumaram um jeitinho de fazer isso!?

A gente tem uma quantidade definida de fluido que passa através de uma região (vazão volumétrica). A ideia da espessura de deslocamento é propor um perfil de velocidades constante, mas que tenha a mesma vazão volumétrica que o perfil observado no escoamento real (com o gradiente de velocidades).

Imagine, por exemplo, que o duto quadrado tem 300   m m de lado e que um fluido vai entrar nele com uma velocidade de U ∞ = 26   m . s - 1 . Se eu te disser que em determinado ponto, a espessura de deslocamento equivale a δ * = 2,0   m m , no que isso facilita sua vida?

Isso significa que resolver esse problema com aquele perfil chato u y num duto de lado L dá no mesmo que resolver um problema em que o duto de lado “ L - 2 . δ * ” com o perfil uniforme ( U ∞ ). Ou seja, a gente desloca o início do perfil em δ * em cada uma das placas. D

Dá uma olhada na imagem aqui pra ver como fica:

Então no nosso caso, se quiséssemos calcular a vazão nesse ponto por exemplo, ao invés de usar o duto com lado L = 30   m m e o perfil de velocidades real ( a ), vamos usar um duto de lado L - 2 . δ * = 26   m m com o perfil uniforme hipotético ( b ):

Bem mais fácil, não? :) Então, já sabe! Se já tiver informação da espessura de deslocamento ( δ * ) fica fácil!

Para que a gente garanta que o escoamento volumétrico com o perfil uniforme ( U ∞ ) seja o mesmo que com o perfil real ( u y ), podemos igualar a vazão de um com a de outro:

  v a z ã o   v o l u m é t r i c a c o m   p e r f i l   r e a l = v a z ã o   v o l u m é t r i c a c o m   p e r f i l   u n i f o r m e

∫ 0 ∞ u y . w . d y = ∫ δ * ∞ U ∞ . w . d y

Após alguns “algebrismos”, chegamos à definição matemática da espessura de deslocamento:

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u y U ∞ d y = ~ ∫ 0 δ * 1 - u y U ∞ d y

Espessura de Quantidade de Movimento ( θ )

Representa a distância da qual a superfície deveria ser deslocada para uma corrente com perfil de velocidades uniforme (invíscida) produzir o mesmo momento linear que o escoamento real do fluido.

Agora não assusta mais! É parecido com a anterior. A ideia da espessura de quantidade de movimento é propor um perfil de velocidades uniforme (velocidades constantes), mas que tenha o mesmo momento linear (quantidade de movimento).

Sabemos que o momento linear pode ser escrito como sendo o produto da densidade pelo quadrado da velocidade:

( m o m e n t o   l i n e a r )   = ( m a s s a ) . v e l o c i d a d e ²

Para um elemento infinitesimal, temos que:

d p = ρ . u y ² . d A

Integrando a expressão de y = 0 até y → ∞ :

p = ∫ 0 ∞ ρ . u y 2   d A

p = ∫ 0 ∞ ρ . u y 2   d A = ∫ θ ∞ ρ . ( U ∞ ) 2 . w   d y

Lembra que igualamos as expressões de vazão volumétrica no caso da espessura de deslocamento? Pois é, na espessura de quantidade de movimento, vamos igualar as expressões de momento linear:

  m o m e n t o   l i n e a r c o m   p e r f i l   r e a l = m o m e n t o   l i n e a r c o m   p e r f i l   u n i f o r m e

∫ 0 ∞ ρ . [ u y ] 2 . w   d y = ∫ θ ∞ ρ . ( U ∞ ) 2 . w   d y

De maneira semelhante ao que vimos para a espessura de deslocamento, chegamos à definição matemática da espessura de quantidade de movimento:

θ = ∫ 0 ∞ u y U ∞ · 1 - u y U ∞ d y = ~ ∫ 0 δ u y U ∞ · 1 - u y U ∞ d y

Na prática, funciona da mesma forma que a de deslocamento, só que com um critério diferente: mesmo momento linear e não vazão volumétrica!

Craques em camada-limite agora? Vamos exercitar? Então, responde aí! ^^

Espessura de Deslocamento ( δ * )

Espessura de Quantidade de Movimento ( θ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é:

u U ∞ = 3 2 . y δ - 1 2 . y δ 3

Essa expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie   δ * δ e θ δ .

Passo 1

Neste exercício, nós já temos o perfil de velocidades descrito e o enunciado pede para só conferirmos as condições de contorno. Mais tranquilo que o exercício anterior, não é mesmo?

Além disso, temos que avaliar as razões das espessuras de deslocamento ( δ * ) e de quantidade de movimento ( θ ) sobre a espessura de perturbação ( δ ).

Então, vamos começar pelo mais simples: avaliar a coerência do perfil de velocidades proposto!

Lembre-se de que, na camada-limite, a velocidade do fluido em contato com a superfície é zero (condição de não-deslizamento):

u 0 U ∞ = 3 2 . 0 δ - 1 2 . 0 δ 3

u 0 = 0

Certinho! Agora, na região mais afastada, a tensão de cisalhamento é nula ( τ y = δ = 0 ):

d   u y d y = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 1 2 . y 2 δ 3

d   u y d y y = δ = U ∞ . 3 2 . 1 δ - 3 2 . δ 2 δ 3

d   u y d y y = δ = 0

É, até que esse cara sabe fazer bem um perfil, tudo certinho! ^^

Passo 2

Agora, vamos aplicar as definições que vimos de espessura de camada-limite!

Antes de começar, vamos propor uma troca de variável, tal que η = y δ . Mas por que isso? Dê uma olhadinha no perfil de velocidades do enunciado. Não ficaria bem mais limpo e organizado se trocássemos todas as razões y δ por η ? Então, é isso que vamos fazer! ^^

Assim, ficamos com:

u η U ∞ = 3 2 . η - 1 2 . η 3

Bem melhor, não? Isso facilitará nossa vida adiante!

Para a espessura de deslocamento ( δ * ):

δ * δ = 1 δ . ∫ 0 ∞ 1 - u y U ∞ d y

Como δ é uma constante, podemos passar ela para dentro da derivada e ficamos com:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ . 1 δ d y

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u y U ∞ d y δ

Olha só, aparece aquela nossa nova variável η . Então, vamos reescrever em função dela:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u η U ∞ d η

Note que o limite de integração superior também muda, pois, se y = δ , então η = 1 e, se y = 0 , então η = 0 .

Substituindo a expressão do perfil de velocidades, temos:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - 3 2 η - 1 2 η 3 d η

Ao integrarmos:

δ * δ = η - 3 4 η 2 - 1 8 η 4 0 1

Logo:

δ * δ = 1 - 3 4 - 1 8 - 0 = 3 8

δ * δ = 0,375

Passo 3

Analogamente, para a espessura de quantidade de movimento ( θ ):

θ δ = 1 δ . ∫ 0 δ u y U ∞ . 1 - u y U ∞ d y

Fazendo a mudança de variáveis, temos:

θ δ = ∫ 0 1 u η U ∞ . 1 - u η U ∞ d η

θ δ = ∫ 0 1 u η U ∞ . 1 - u η U ∞ d η

Ao substituirmos a expressão do perfil:

θ δ = ∫ 0 1 3 2 . η - 1 2 . η 3 . 1 - 3 2 . η - 1 2 . η 3 d η

θ δ = ∫ 0 1 3 2 . η - 9 4 . η 2 - 1 2 . η 3 + 3 2 . η 4 - 1 4 . η 6 d η

θ δ = 3 4 . η 2 - 3 4 . η 3 - 1 8 . η 4 + 3 10 . η 5 - 1 28 . η 7 0 1

Logo:

θ δ = 3 4 - 3 4 - 1 8 + 3 10 - 1 28 - 0 = 39 280 = 0,139

Resposta

Sim, o perfil proposto satisfaz as condições de contorno! E as razões entres as diferentes espessuras de camada-limite são dadas abaixo:

δ * δ = 3 8 = 0,375

e

θ δ = 39 280 = 0,139

Exercício Resolvido #2

Um fluido de massa, específica ρ = 800   k g / m 3 , escoa a   U = 3   m / s sobre uma placa plana de 3   m de comprimento e 1   m de largura. Na borda de fuga, a espessura da camada-limite é δ = 25   m m . Considere que o perfil de velocidade é linear, conforme mostrado, e que o escoamento é bidimensional (as condições de escoamento são independentes de z ). Usando o volume de controle a b c d , mostrado por linhas tracejadas:

( a ) Calcule a vazão através da superfície a b .

( b ) Determine a força de arrasto sobre a superfície superior da placa.

Passo 1

Vamos inicialmente organizar nossos objetivos! O enunciado nos pede 2 coisas: a vazão de fluido através da superfície a b e a força de arrasto sobre a superfície.

O cálculo da vazão é feito pelo balanço de massa que já vimos anteriormente no tópico de Forma Integral do Volume de Controle:

∂ ∂ t ∫ V C ρ . d V + ∫ S C ρ . V → . d A → = 0

Note que precisaremos do perfil de velocidades u y para calcular a vazão, mas qual é sua expressão?

O enunciado nos diz que o perfil é linear, logo é do tipo:

u y = A . y + B

Lembra das condições de contorno? Então, sabemos que a velocidade é nula em y = 0 e que equivale a U em y = δ . Portanto:

u 0 = 0

A . 0 + B = 0

B = 0

E ainda:

u δ = U

A . δ + 0 = U

A = U δ

Pronto! Temos que o perfil de velocidades é dado por:

u y = U . y δ

Podemos reescrevê-lo com a variável η :

u y = U . η

Passo 2

Considerando o retângulo a b c d como volume de controle (VC) e que o problema está no estado estacionário (propriedades não variam no tempo), podemos escrever:

∫ S C ρ . V → . d A → = 0

∫ S a d ρ . V → . d A → + ∫ S a b ρ . V → . d A → + ∫ S b c ρ . V → . d A → + ∫ S c d ρ . V → . d A → = 0

∫ S a d ρ . V → . d A → + ∫ S b c ρ . V → . d A → + m ˙ a b = 0

∫ 0 δ ρ .   U . d ( w . y ) - ∫ 0 δ ρ .   u y . d w . y - m ˙ a b = 0

Como são ρ ,   w e U são constantes, podem sair das derivadas e integrais:

ρ .   U . w ∫ 0 δ d y - ρ . w . ∫ 0 δ u y . d y - m ˙ a b = 0

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - 0 - ρ . w . ∫ 0 δ u y . d y

Substituindo a expressão do perfil de velocidades que encontramos:

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . ∫ 0 δ U . η . d y

Pela mudança de variável, temos:

η = y δ               y = η . δ

Logo:

d y = δ . d η

Substituindo na integral:

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . ∫ 0 1 U . η . ( δ . d η )

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - ρ . w . U . δ . η 2 2 0 1

m ˙ a b = ρ .   U . w . δ - 1 2 . ρ . U . w . δ

m ˙ a b = 1 2 . 800 k g . m - 3 . 3 m . s - 1 . 1 m . 0,025 m

m ˙ a b = 30   k g . s - 1

Passo 3

Vamos agora concluir nosso segundo objetivo: determinar a força de arrasto que a superfície da placa sofre devido ao escoamento do fluido.

Se antes utilizamos o balanço de massa para encontrar a vazão, agora, como queremos encontrar uma força, utilizaremos o balanço de momento:

F → r e s = F → S + F → B = ∂ ∂ t ∫ V C ρ . V → . d V + ∫ S C V → . ρ . V → . d A →

Como assumimos estado estacionário e o volume de controle não se move simultaneamente ao fluido ( F → r e s = 0 ):

∫ S a d V → . ρ . V → . d A → + ∫ S a b V → . ρ . V → . d A → + ∫ S b c V → . ρ . V → . d A → + F a r r a s t o , x = 0

- F a r r a s t o , x + ∫ 0 δ U . - ρ .   U . d ( w . y ) + m ˙ a b . U + ∫ 0 δ u y . ρ .   u y . d ( w . y ) = 0

- F a r r a s t o , x + U . - ρ .   U . w . ∫ 0 δ d y + m ˙ a b . U + ρ . w . ∫ 0 1 U . η 2 . ( δ . d η ) = 0

F a r r a s t o , x = - ρ .   U 2 . w . δ + m ˙ a b . U + ρ . w . U 2 . δ ∫ 0 1 η 2 . d η

F a r r a s t o , x = - ρ .   U 2 . w . δ + m ˙ a b . U + 1 3 . ρ . U 2 . w . δ

F a r r a s t o , x = - 2 3 . 800 k g . m - 3 . 3 m . s - 1 2 . 1 m . 0,025 m + ( 30   k g . s - 1 ) . 3 m . s - 1

F a r r a s t o , x = - 30   N

Resposta

m ˙ a b = 30   k g . s - 1

e

F a r r a s t o , x = - 30   N

Exercício Resolvido #3

Ar escoa na região de entrada de um duto quadrado, conforme mostrado. A velocidade é uniforme, U 0 = 30   m . s - 1 , e o duto tem área de 76   m m 2 . Em uma seção a 0,3   m a jusante da entrada, a espessura de deslocamento, δ * , em cada parede mede 0,9   m m . Determine a variação de pressão entre as seções 1 e   2 .

Passo 1

E aí, entendeu o problema? O enunciado nos pede para calcular a diferença de pressão entre os dois pontos. Mas por que há essa diferença? Chegou a pensar nisso?

Sabemos que pressão e velocidade estão correlacionados pela equação de Bernoulli:

p ρ + V 2 2 + g . z = c t e

Então, para que exista uma diferença de pressão entre 1 e 2 , significa dizer que há também uma diferença entre as velocidades médias dos pontos 1 e 2 . E você saberia explicar o porquê dessa diferença de velocidades?

Para isso, temos que lembrar da definição de espessura de deslocamento ( δ * ). Ela é a distância da qual a superfície deve ser deslocada, tal que o fluxo volumétrico real possa ser calculado por meio de um perfil uniforme (velocidades constantes).

Como nos foi dado o valor dessa espessura, podemos considerar o escoamento nesse duto como se ele fosse em um duto convergente, ou seja, cuja área diminui ao longo do escoamento:

Como a vazão é constante, sabemos que ao diminuir a área do escoamento, aumentamos a velocidade média do fluido e, consequentemente, diminuímos a pressão. Sendo assim, esperamos que Δ p < 0 .

Vamos conferir se isso condiz com o resultado?

Passo 2

Pela equação da conservação da massa, admitindo estado estacionário, temos que:

∫ S C ρ . V → . d A → = 0

Sendo assim:

∫ S 1 ρ . U 1 . d A 1 - ∫ S 1 ρ . U 2 . d A 2 = 0

Como as velocidades U 1 e U 2 são constantes:

ρ .   U 1 . A 1 = ρ .   U 2 . A 2

U 2 = U 1 . A 1 A 2

O cálculo das áreas será dado por:

A 1 = 76   m m 2

A 2 = 76   m m - 2 . ( 0,9   m m ) 2

Já sabemos que no início (ponto 1 ), a camada-limite ainda não se formou e a velocidade média do escoamento equivale à do fluido antes de entrar ( U 0 ) . Dessa maneira:

U 2 = 30   m . s - 1 . 76   m m 2 76   m m - 2 . ( 0,9   m m ) 2

U 2 = 31,5   m . s - 1

Passo 3

Pela equação de Bernoulli aplicada aos pontos 1 e 2 :

p 1 ρ + U 1 2 2 + g . z 1 = p 2 ρ + U 2 2 2 + g . z 2