Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

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Enunciado

O perfil de velocidade senoidal mais geral para o escoamento laminar da camada-limite sobre uma placa plana é u = A . s e n B . y + C . Estabeleça três condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade laminar de camada-limite. Avalie as constantes A, B e C.

Passo 1

A ideia com esse exercício é fixar as condições de contorno usualmente utilizadas, para se determinar o perfil de velocidades na camada-limite desenvolvida sob uma placa plana.

Nosso objetivo é aplicar três condições de contorno na equação senoidal, a fim de encontrar os três parâmetros: A, B e C.

A condição de contorno mais importante da Mecânica dos Fluidos é a condição de aderência (ou de não-deslizamento), que afirma que a velocidade no fluido em contato com uma superfície em repouso é nula.

Além disso, podemos ainda definir mais duas condições para camada-limite, que tratam do fato da velocidade ser constante ( U ∞ ) e da tensão de cisalhamento ser nula fora da camada-limite ( τ y = δ = 0 ).

Com isso temos as seguintes condições:

u ( y = 0 ) = 0

u ( y = δ ) = U ∞

d u d y ( y = δ ) = 0

Passo 2

Definidas as condições de contorno, vamos aplicar cada uma delas à equação:

u y = A . s e n B . y + C

Pela condição de não-deslizamento:

u y = 0 = 0 = A . s e n B . 0 + C

C = 0

Pela condição da continuidade do perfil de velocidades com u ( y = δ ) = U ∞ :

u y = δ = U ∞ = A . s e n B . δ

U ∞ = A . s e n B . δ

Pela condição de tensão cisalhante nula fora da camada-limite:

d u d y y = δ = 0 = A . B . c o s ⁡ ( B . δ )

Sabemos que a função cosseno se anula toda vez que seu argumento for múltiplo de π 2 , logo:

B = π 2 . δ

Substituindo na equação da segunda condição, obtemos:

U ∞ = A . s e n π 2 . δ . δ

U ∞ = A . s e n π 2

A = U ∞

Dessa maneira, temos a equação completa:

u y = U ∞ . s e n π . y 2 . δ

Resposta

Condições de contorno:

u ( y = 0 ) = 0

u ( y = δ ) = U ∞

d u d y ( y = δ ) = 0

Valores das constantes:

A = U ∞   ;   B = π 2 . δ   ;   C = 0

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