Exercícios Resolvidos de Estabilidade de sistemas discretos

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Enunciado

Dado T z = N z D z , em que D z = z 3 - z 2 - 0,2 z + 0,1 utilize o critério de Routh-Hurtwitz para determinar o número de polos de T ( z ) dentro, fora e sobre o círculo unitário. O sistema é estável?

Passo 1

Esse exercício jpa começa nos dando logo de cara a equação característica do sistema, que é:

z 3 - z 2 - 0,2 z + 0,1 = 0

É da equação característica que podemos tirar as informações sobre estabilidade do sistema. Só que a gente vai usar o método de Royht-Hurwitz para fazer isso, e esse método foi desenvolvido e funciona apenas no plano s .

Então precisamos fazer uma adaptação, e para isso, usaremos a transformação bilinear. A transformação bilinear faz uma troca de variáveis, entre s e z conforme a expressão abaixo:

z = s + 1 s - 1

Vamos aplicar a transformação bilinear na nossa equação característica então:

s + 1 s - 1 3 - s + 1 s - 1 2 - 0,2 s + 1 s - 1 + 0,1 = 0

Passo 2

Multiplicando toda a expressão por s - 1 3 :

s + 1 3 - s + 1 2 s - 1 - 0,2 s + 1 s - 1 2 + 0,1 s - 1 3 = 0

Expandindo os termos exponenciais:

s 3 + 3 s 2 + 3 s + 1 - s 2 + 2 s + 1 s - 1 - 0,2 s + 1 s 2 - 2 s + 1 + 0,1 s 3 - 3 s 2 + 3 s - 1 = 0

Efetuando as multiplicações e juntando os termos iguais:

- 0,1 s 3 + 1,9 s 2 + 4,5 s + 1,7 = 0

Passo 3

Agora que já temos a equação característica no plano s , podemos aplicar o Critério de Routh.

O diagrama de Routh para essa equação será:

Caso você não se lembre como construir um diagrama de Routh seria legal dar uma revisada na aula de Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

O critério diz que a cada mudança de sinal na primeira coluna, existe uma raíz instável. Como houve uma mudança de sinal na primeira coluna apenas da primeira para a segunda linha, existe uma raíz instável, isto é, uma raiz com parte real positiva no plano s , ou uma raiz dentro do circulo unitário com centro na origem no plano z .

Como não tivemos uma linha de zeros, é impossível que haja raízes sobre o eixo dos imaginários no plano s ou sobre a linha do cícrculo unitário no plano z . Portanto, as outras duas raízes se encontram no semiplano s esquerdo ou dentro do círculo unitário no plano z .

Portanto o sistema é instável.

Resposta

Sistema instável. Duas raízes dentro do círculo unitário com centro na origem e uma fora.